☉山东省淄博第十中学 李作洪

☉山东省淄博市淄川实验中学 法婷婷

圆是解析几何中重要的基础内容，是学好解析几何的关键.解题时不仅要用到圆的有关知识，而且常用到一些技巧.现举例说明.

一、巧用位置关系

例1过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ）.

解析：易得所求直线的斜率存在.

由于直线过原点，所以可设直线方程为y=kx，即kxy=0.

圆的方程可化为（x+2）2+y2=1，则其圆心是（-2，0）.

练习1：（2005年全国）求圆心为（1，2）且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程.

二、巧用直线的斜率和截距

例2如果直线将圆x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么直线l的斜率的范围是（ ）.

解析：易得直线的斜率存在.

圆的方程可化为（x-1）2+（y-2）2=5，则其圆心为（1，2）.由直线l平分圆，得直线过圆心（1，2），则可设直线方程为y-2=k（x-1），即y=kx+2-k.又直线l不过第四象限，则则0≤k≤2，故选A.

练习2：（2005年北京）从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为（ ）.

三、巧用对称性

例3自点A（-3，3）发出的光线射到x轴上后，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆C：x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程.

解析：根据光的反射定律，如果反射光线与已知圆相切，则入射光线必与已知圆关于x轴的对称圆相切.

圆C的方程为（x-2）2+（y-2）2=1，它关于x轴的对称圆C′的方程为（x-2）2+（y+2）2=1.

易得直线l的斜率存在.

设光线l所在直线的方程为y-3=k（x+3），即kx-y+3k+3=0.

即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.

练习3：（2003年全国）直线y=2x关于x轴对称的直线方程为___________.

四、巧用平面几何知识

例4已知圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l∶x-2y=0的距离为.求圆的方程.

解析：设圆心为点P（a，b），半径为r，则圆心到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|.

由题意可知：圆截x轴所得的弦长为ｾ，则r2=2b2.

由圆被y轴截所得的弦长为2，得r2=a2+1.

则2b2=a2+1.

则r2=2b2=2.

故圆的方程为（x+1）2+（y+1）2=2或（x-1）2+（y-1）2=2.

练习4：（2005年江苏）圆O1和圆O2的半径都等于1，|O1O2|=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N为切点），使得|PM|=|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程.