徐章韬

(华中师范大学数学与统计学学院 430079)

圆锥曲线是因解倍立方体问题的需要而产生.圆锥曲线的研究法先是纯几何的手法，直至笛卡尔才用坐标法研究圆锥曲线，解析几何产生了.这些成果已反映在现行的教材中.从研究方法上看，直线、圆、圆锥曲线都是坐标法的研究对象，体现了坐标法的巨大威力；但从研究内容上看，直线、圆、圆锥曲线的内在关联性还揭示得不够.平面几何花了大量的气力研究圆，这些学习成果应在后续学习中体现出来.三角函数又称圆函数，现在人们已经逐渐认识到应发挥单位圆在三角学习中的支持作用.受此启发，在逻辑上圆和圆锥曲线有着内在关联，以圆为认知工具，可以把直线、圆、圆锥曲线等“一线串”起来，把平面几何、解析几何的学习有机关联起来.

1 从圆到圆锥曲线

点可看作半径为零的圆，直线可看作半径为无穷大的圆，或曲率为零的圆.作一半径为2a的圆，利用轴对称，用圆可以生成椭圆和双曲线.还有一些用圆生成圆锥曲线的方法.

圆作为圆锥曲线的“母体”，圆的度量性质、仿射性质大多可以引申推广到圆锥曲线中.如，直径所对的圆周角为直角、切线与半径垂直、垂径定理、圆幂定理都可以推广.这已形成一种技法，欲探究椭圆的性质，有的可以还原到圆上去研究.

2 圆锥曲线间的互变

圆锥曲线同根同源，可以相互转化.

(由圆生成圆锥曲线)设圆x2+y2=r2(r>0),PP′是圆垂直于x轴的一条弦，M(m,0),N(n,0)是x轴上的不同的两点，求直线PM与P′N的交点Q的轨迹，则当(m+n)2-4a2>0时，轨迹是椭圆或圆；当(……