邵俊杰 李金兴

(1.北京邮电大学计算机学院 102206;2.浙江省萧山中学 311201)

圆锥曲线作为中学解析几何学习的重点，拥有悠久的历史和众多性质；其中圆锥曲线的光学性质极为特殊.人教A版教材介绍了光线经过圆锥曲线焦点时的光学性质；那么，那些不经过圆锥曲线焦点的光线又有何特性呢？

1 椭圆中的两个类包络现象

考虑到圆锥曲线中只有椭圆是封闭曲线，光会一直在内部反射，我们先对椭圆中的一般弦做出研究.根据初始光线与两焦点连线段的三种关系：初始光线经过某焦点、初始光线与焦点连线段不相交、初始光线与焦点连线段相交但交点非焦点，分别讨论光线的反射性质.

1.1 过椭圆焦点的光线性质

引理1设F1,F2分别是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点,则从F1发出的光线经过P点处椭圆反射后的反射光线经过点F2.

由此可见，如果初始光线沿过焦点的弦(非长轴)，则经过椭圆反射后会通过另一个焦点，不断反射后交替地通过两个焦点.

图1

图2

1.2 初始光线与椭圆两焦点连线段不相交时的光学性质

为使证明过程简洁，我们先来证明几个引理.

引理3椭圆C以F1、F2为焦点，A、B为C上两点，l1、l2分别为椭圆C在A、B点处的切线，F为l1与l2的交点，则∠AFF1=∠BFF2(如图3).

图3

图4

由上述引理可得，当初始光线与椭圆焦点连线段不相交时有如下结论：

定理1如图5，椭圆C1以F1、F2为两焦点，椭圆C1的弦S1S2与线段F1F2不相交，从S1发出的光线S1S2经椭圆C1反射后反射光线为S2S3，则S1S2和S2S3均与另一个以F1、F2为焦点的椭圆C2相切.

图5

图6

于……