龚文鑫

（清华大学附属中学，北京 100084）

在我国基础建设日益蓬勃的今天，配套建设高压线塔等供电设施的需求也在不断扩大。本文以高压线塔的铺设为例，讨论如何在已知每一地点线塔造价（不同地理位置下的线塔架设难度不一）且路程足够远的情况下确定能使高压线塔总造价最小的线塔建造轨迹。由于单纯从各地线塔造价入手难以解决，文章通过借助费马原理转化，在线塔轨迹和几何光学三大定律之间建立联系，以便通过相对简单的数学计算和几何光学推论确定线塔架设轨迹。

1 模型建立

我们考虑的问题是在A 地和B 地建造一系列的高压线塔，并且总造价最少。在问题的考虑过程中，每一个线塔的造价成本与建造地点有关，记作n（x，y），相邻两线塔之间的距离始终不变，记作L，线塔数目记作N，则总费用p 为：

式中，ni为建造第i 个线塔所需成本。

由于相对实际路线长度，线塔之间的距离L 可以认为接近于0，所以在模型中，两地之间线路轨迹可看作平滑曲线，求和可以转化为积分。在转化的过程中将，由于L 很小且为定值，利用建设线塔过程中每一点铺设成本分布函数n（x，y）可以得知

2 使用光学方法求解模型

2.1 模型转化为光学问题

通过观察总费用p 的表达式，可以看出∫ ndl 和费马原理里面的光程表达式很类似。如果我们认为造价成本分布函数就是折射率，则光从点A 沿着实际的线塔设计路线射至点B，时长t 为

2.2 几何光学解法

由于费马原理和几何光学三大基本定律是相互等价的[1]，也即有：