□吴淑家

美国教育心理学家布鲁纳认为， “表征” 是认知发展的关键，他将儿童认知分成动作表征、形象表征和符号表征等发展阶段。笔者结合日常的教学实践，探索多元表征下有效培养学生运算能力的策略，提出一些思考。

一、以动作表征为基点，捕捉运算本质

动作是进行脑力劳动的基点。在运算教学过程中， 充分让学生借助动作去感知， 能将抽象枯燥的运算， 在心理活动中进行灵活再现， 来触动大脑中已有的知识经验并建立联系， 由此领悟其中的本质特征。

北师大版二年级下册 《搭一搭》： 这节课是有余数的除法的起始课，什么是余数，为什么余数要比除数小？ 教材中只进行一次操作。在操作的基础上，学生很快发现余数的特征 “1、 2、 3、 0、 1、2、3、0……” 不断重复出现， 但这还不足以让学生将余数与除数建立联系，一个特例让学生产生所有的除法中只要有余数，余数规律都是一样的错觉。因此，教师在此基础上继续让学生动手摆 “三角形（除数是3）”、“小树 （除数是7）”，充分动手感知， 促使学生产生认知冲突： 为什么摆三角形， 余数最大是2，摆小树时余数最大是6？还剩下6 根，这么多，为什么不能再摆呢？余数到底与谁有关系呢？

手 “动” 很快引发眼 “动”、脑 “动”， 学生自然而然地将剩余的根数与摆1 个图形的根数建立起联系 （除数）， 从而感悟到： 原来不足摆一个 “除数”， 剩下的那部分就叫做余数， 这就是余数的本质， 因为余数不足一个除数， 所以比除数小。 以动作表征为基点，将看不见、 摸不着的抽象概念可感化、可视化，运算本质的内在联系就被显现出来，由此让学生更好地接受与吸收。

二、以形象表征为支点，培养运算能力

运算是由抽象的数字、符号组成， 学生对于运算更多就是依“法”办事、不讲 “道理”，从而导致运算失去生机。形象表征是将知识与经验借助图像或其他图形表示出来。 在运算教学过程中有效地利用它， 可以将这些只有 “灵魂” 的知识还以 “肉身”， 为大脑的解读建立支点， 从而由内而外的理解知识， 真正地提高学生的运算能力。

北师大版二年级下册 《搭一搭》，34÷5 余数除法教后，出现过这样的典型错题： 由于学生只关注： 想商时， 要让商与除数的积最接近被除数这个规则，而错解了余数的意义，将缺少1 根当成了余数 （见表1）。 第一、 二种解说执教者只用了 “空洞” 的语言符号，学生借助听觉， 难以将看似简单却蕴涵复杂含义的数字与系统中已有的知识建立联系，仍然处于迷茫之中。 解说三将抽象的运算穿上“形” 衣， 让学生动手画， 有了图这座桥梁，对于除法、余数的本质特征变得可摸、可看、可分析，从而为学生架起思维的支点，将运算的 “法” 与 “理” 进行无缝链接，学生不仅会算还能说理，在不知不觉中运算能力也就得到提高。表征，它们之间往往相互渗透、联系、转化。在运算过程中有效地将多种表征方式进行融合，有助于学生全面理解运算的本质，加深对各种运算的认识， 从而完善运算结构，形成稳固的知识体系，进一步提升数学素养。

表1 34÷5 余数除法解说

北师大版一年级下册 《摘苹果》， 两位数相加 （进位加法）：38+17。

学生依次出现上面3 种方法（图3－图5），并逐一进行解说。

问题：这3 种方法有什么相同点？

三、以多种表征为融点，完善运算结构

在学习过程中， 无论是动作表征、 图形表征还是语言、 符号

（图3）

（图5）

生1：它们都是在算38+17

生2：算的时候都将相同数位对齐。

生3：都有满十进一。

……

追问：“满十进一”中的 “10”在哪？“1”在哪？

学生在小棒、计数器、竖式中分别找到10 与1。

（小棒： 分散的10 根捆成1捆； 计数器： 个位上10 颗珠换成十位上1 颗珠； 竖式： 个位上10变成十位上的1。）

各种表征方法由具体的小棒、计数器到抽象的竖式，在教师追问过程中慢慢融合， 它们样子不一样，但使用的方法、说明的道理都一样： “满十进一” 都是表示个位10 个一变成十位1 个十，抽象的运算法则变得可演、可现、易理解。

追问： 那么如果十位上满10要怎么办？（学生计算46+54）

学生：十位上满10 要变成百位上的1。

追问： 如果百位上满10 呢？千位上满10 呢？

……

小结： “满十进一” 表示哪位上满10 就变成更高的一位上的1。

通过找小棒、 计数器、 竖式中的 “满十进一”， 借 “形” 突显两位数进位加法的本质， 促使学生深入理解、掌握 “个位满十向十位进一”的运算方法，并借助类比推理， 得到 “十位满十向百位进一、 百位满十向千位进一……”，从点到面，由此真正认识 “满十进一”的意义，从而为以后学习三位数、四位数……进位加法打下扎实的基础。这样，学生不再只是一个知识点的学习，而是一个知识面的把握，由此有效建构加法竖式计算的知识结构体系。