秦浩星　杨德庆

摘要： 通过建立声子晶体负泊松比蜂窝基座的等效动力学模型，研究该基座局域共振减振机理。探讨动力学参数（固有频率比、质量比、阻尼比）、声子晶体的周期层数等对基座减振性能的影响规律。研究结果表明，当声子晶体固有频率与基座固有频率接近时，能有效降低基座发生结构共振时的响应幅值。建立声子晶体蜂窝基座的优化设计模型，优化得到具有指定局域共振固有频率的声子晶体结构。动力学频响计算表明，该优化设计基座能够有效抑制结构的低频共振现象。

关键词： 减振; 声子晶体; 负泊松比; 蜂窝; 基座

中图分类号： U661.44; O735  文献标志码： A  文章编号： 1004-4523（2019）03.0421.10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004.4523.2019.03.006

引 言

船舶大型化发展趋势，造成船体结构固有频率随之降低，而船舶动力设备载荷的峰值主要集中在低频段，这将导致船体共振现象和振动响应幅值显著增加。此外低频振动线谱分量能量较大，辐射距离远，是影响舰艇隐蔽性的主要因素。常见的单层、双层、浮筏、浮舱、浮动地板等减振隔振装置，存在着低频减振效果不好、不能适应外扰变化等缺点[1]，传统的减振设计方法有隔振、吸振和阻尼减振技术等[2.3]。基座是支承船舶动力设备的重要结构，在保证其结构强度的前提下，适当减小其刚度有利于提高减振效果，通过对基座进行减振设计来降低船舶结构振动是有效途径之一[4.5]，主要是通过改变基座自身结构形式和尺寸以达到减振效果[6]。

负泊松比材料具有不同于普通材料的独特性质，其高空隙率和低密度的特点，在结构轻量化与减振降噪方面有广泛应用[7.8]，成为工程领域不可缺少的材料之一[9.11]。围绕泊松比效应材料在结构动力学方面的特性，以下学者做了相关的研究：李永强等[12.13]研究了蜂窝夹层板主共振情况下的非线性动力学特性，分析了不同结构参数对动力学特性的影响。Hnig等[14]研究了正六角蜂窝结构的面内抗冲击性能。Banerjee等[15]利用等效连续介质模型研究了蜂窝结构自由振动特性。Hayes等[16]采用微极理论研究了正六角形蜂窝胞元的蜂窝结构在垂向简谐力激励下的动态变形。文献[17.18]采用尺寸优化方法研究了内六角负泊松比蜂窝材料的结构参数对结构减振、抗冲性能的影响规律。对于蜂窝多孔材料在减振方面的工程应用研究仍存在不足，尤其是对于低频段的减振效果不佳。

声子晶体是指由弹性固体周期排列在另一种固体或流体介质中形成的一种新型功能材料。国内外对声子晶体的研究主要围绕晶体的声学特性上，现有文献较少涉及到结构的振动特性研究。此外，声子晶体在理论研究领域受到了很多关注，但对于应用领域的研究较少。Pennec等[19]采用数值模拟的方法研究了周期性板中的局域共振型带隙特性，并在试验中进行了验证;Diaz.De.Anda等[20]从理论的角度研究了声子晶体中周期Timoshenko杆的弯曲振动带隙，吴旭东等[21]提出了一种双侧振子布置形式的局域共振声子晶体梁结构，并基于传递矩阵法和有限元法分析了双带隙配合减振的特性。对于声子晶体的低频减振特性，刘正猷等[22]提出了声子晶体的局域共振的概念，为声子晶体在低频减振降噪领域的应用奠定了理论基础。文献[23.24]以梁框架结构低频减振为目标，将质量放大局域共振声子晶体嵌入框架结构中，对框架结构一阶固有频率进行声子晶体结构优化设计，抑制了一阶固有频率处的振动。文献[25.26]利用手性结构进行梯度设计，在低频段实现了局域共振带隙的拓宽。张佳龙等[27]提出一种正八边形孔状局域共振声子晶体结构，在中低频范围内具有较好的隔声特性;Lai等[28]和Mei等[29]基于局域共振机理设计了体和薄膜超材料，解决了低频降噪减振的控制问题。利用局域共振型的声子晶体结构能够实现低频减振的优点，文献[30]中将声子晶体结构的可设计性与负泊松比效应蜂窝基座局域刚度的可设计性相结合，提出一种声子晶体负泊松比效应蜂窝基座，但对该基座的减振机理缺少深入分析。

本文在文献[30]的基础上进一步研究声子晶体负泊松比效应蜂窝基座的减振机理，通过建立动力学模型探讨声子晶体结构参数对该基座减振性能的影响规律，提出低频局域共振型声子晶体负泊松比效应蜂窝基座设计的方法。

1 声子晶体负泊松比效应蜂窝基座〖2〗1.1 负泊松比效应蜂窝基座  本文采用文献[30]中的负泊松比蜂窝基座模型，该负泊松比蜂窝基座结构如图1所示，其由三部分组成：上面板、蜂窝芯、下面板，结构长400 mm，高300 mm，宽224 mm，共7层胞元，上下面板厚6 mm。胞元形状为内凹等高度可闭合蜂窝胞元，壁厚、胞元内凹角分别为1 mm，-38.2°，基座上面板承载的设备质量为500 kg。

1.2 声子晶体蜂窝基座的结构设计

在负泊松比效应蜂窝基座结构的基础上，通过添加周期性分布的声子晶体（由铅块与橡胶块构成），设计声子晶体负泊松比效应蜂窝基座。即以蜂窝基座的蜂窝单胞为基体，向单胞内填充橡胶和铅块，铅块作为散射体，橡胶作为弹性体，从而得到局域共振型声子晶体负泊松比效应蜂窝基座，如图2所示。

蜂窝胞元中声子晶体结构的尺寸定义方式如图3所示：蜂窝单胞宽度B、高度H、内凹角θ;散射体宽度b、散射體高度d;弹性体厚度h。基座采用钢材制造，杨氏模量210 GPa，密度7800 kg/m3，泊松比0.3;橡胶的弹性模量为1 MPa，密度为1300 kg/m3;铅块的弹性模量为40.8 GPa，密度为11600 kg/m3。

声子晶体负泊松比效应蜂窝基座的局域共振减振机理〖2〗2.1 声子晶体负泊松比效应蜂窝基座的简化动力学模型  本文将声子晶体负泊松比效应蜂窝基座简化为图4所示质点系振动系统。M，K分别为蜂窝基座的质量（设备质量与基座自身结构质量之和）和整体垂向刚度;F为外载荷激振力;x为蜂窝基座的垂向振动位移。设基座中有n个声子晶体;mi，ki，ci，xi（i=1，2，…，n）分别表示第i个声子晶体的质量、垂向刚度、阻尼系数和垂向振动位移响应。声子晶体的质量为铅块和橡胶块的质量之和，声子晶体的刚度为橡胶块的垂向刚度。

综上，当声子晶体与蜂窝基座的固有频率接近（fp=fn）时，适当的配置阻尼材料，能够有效抑制蜂窝基座在共振频率点速度响应峰值，实现低频减振。

2.3 声子晶体负泊松比效应蜂窝基座的减振机理分析  局域共振声子晶体结构如图3所示，由于闭合的刚性边界和弹性介质的存在，基体中传播的行波被共振单元局域化，平移局域共振模态被激发，基体可等效为刚性的边界，等效模型如图9所示。弹性波在声子晶体结构中传播，即等效为在图9动力系统[31]中施加激振力F，当外载荷F的激振频率与弹性体反馈力N的频率相同时，两作用力反向叠加，基体合外力为零，因而基体趋于静止状态，弹性波局域化，振动无法传播，仅限于共振单元（散射体）中，由基体中传播的弹性波被局域共振的散射体（铅块质量块）吸收，导致该频率的弹性波无法通过声子晶体结构而传播出去。

l通过上述理论和三类参数（γ，μ，ζ）计算分析表明：

（1） 通过在负泊松比蜂窝结构胞元内嵌入声子晶体，有效抑制了低频段的结构振动现象，从而实现了“小尺寸晶体控制大波长”。

（2） 在声子晶体共振结构中，由于橡胶块弹性体包覆层的存在，将较硬的铅块连接在基体上，组成了具有低频的共振单元。当基体中传播的弹性波的频率接近共振单元的共振频率时，共振结构单元将与弹性波发生强烈的耦合作用，使其不能继续向前传播，从而实现减振效果。

（3） 通过设计单个声子晶体的动力学参数（质量、刚度、阻尼），可改变声子晶体负泊松比效应蜂窝基座共振频率附近的减振效果，即由单个声子晶体的局域共振特性决定。

（4） 下文中分析的声子晶体周期分布层数与减振效果的规律表明，随着声子晶体中弹性体填充率的增加（质量比的增大），声子晶体基座的减振效果增强。

对于局域共振型声子晶体，以上四条基本特征，是认定局域共振型声子晶体时常用的判据。局域共振机理表明，弹性波激振频率接近声子晶体周期结构中散射体的固有频率时，弹性波的能量大幅度的被散射体吸收，从而隔离了弹性波在声子晶体周期结构中的传播。因此，局域共振型声子晶体周期结构的减振本质是利用散射体的局部共振现象吸收弹性波能量。本文设计的声子晶体负泊松比蜂窝基座结构中，利用声子晶体结构的局域共振特性，吸收由激振力引起的弹性波能量，降低传递到蜂窝基座的能量，从而减小蜂窝基座的响应。

3 局域共振型声子晶体的减振优化设计  基于上述减振机理分析，本文将设计一种局域共振型声子晶体，通过优化方法设计声子晶体固有频率fp使其等于蜂窝基座固有频率fn，之后分析该声子晶体负泊松比蜂窝基座在共振频率点的速度响应，验证其减振性能。由于声子晶体中存在橡胶材料，因此该声子晶体蜂窝基座的阻尼特性比较复杂，为简化优化过程，拟采用临界阻尼忽略阻尼比对优化设计的影响。

3.1 声子晶体负泊松比效应基座的减振性能评价方法  为比较减振效果，对照文献[30]中原蜂窩基座减振系统，本文建立声子晶体负泊松比效应基座动力学模型，以便于分析添加声子晶体后的声子晶体负泊松比效应蜂窝基座的减振效果。

将该基座安装在指定板架上形成减振系统（如图10所示）。支撑板架长2000 mm，宽710 mm，板厚6 mm。板架纵骨采用T型材TN50×50×5×7，肋骨用等边角钢L20×3;板架及基座均采用杨氏模量210 GPa，密度7800 kg/m3，泊松比0.3的钢材制造。基座上面板所承载的设备质量为500 kg，在基座上面板节点处均匀施加垂向简谐激振力（振幅为20 N，10.500 Hz），板架的两条短边简支，临界阻尼系数取2%。

选取板架骨材上6个评价点的速度频响幅值来评价基座减振效果，评价点的分布位置如图11所示。

为评价该声子晶体负泊松比效应基座的减振效果，分别计算了添加声子晶体前/后结构的频响结果，对速度响应共振峰值时对应的六个评价点振动幅值进行比较，添加声子晶体前、后的速度频响结果分别如图16和17所示。表1中，添加声子晶体前、后固有频率分别为25.48 Hz和24.83 Hz，对应的评价点速度响应共振峰值进行了总结，各评价点的速度幅值降低了13.0%.20.8%（1.2.2.0 dB）。这表明该声子晶体负泊松比蜂窝基座能够有效抑制低频共振现象，具有较好的低频减振性能。

4 声子晶体层数对减振性能影响规律

基于优化后的声子晶体蜂窝基座，分析声子晶体周期分布层数与减振效果的影响规律，按照由上而下的位置分布（如图18所示），分别计算声子晶体层数为1，3，5，7层时减振系统中各评价点的速度响应幅值，并提取对应的整体系统耦合一阶垂向振动固有频率点处的速度响应峰值（如表2所示）。表3总结了声子晶体层数对应的减振系统速度频响峰值变化率。

表2和3表明，添加声子晶体后各评价点的速度频响峰值得到有效控制，且随着声子晶体层数的增加，各评价点的速度频响峰值趋于减小。说明该声子晶体负泊松比效应蜂窝基座能够有效抑制共振峰值。图19总结了声子晶体层数与速度频响幅值减少量之间的关系，随着声子晶体层数的增加，基座的减振效果逐渐提升。

5 结 论

本文研究了声子晶体负泊松比效应蜂窝基座的减振机理。建立简化动力学模型以分析声子晶体动力学参数对基座减振性能的影响规律，总结了减振机理，并分析声子晶体层数与减振性能的关系。结论如下：

（1） 通过理论与计算分析，验证了声子晶体负泊松比效应蜂窝基座的低频局域共振减振机理。

（2） 当声子晶体固有频率与蜂窝基座固有频率接近时，能够有效减小基座的共振响应峰值。

（3） 通过优化声子晶体的固有频率，能抑制蜂窝基座的共振现象，并保证整体结构的重量最小。

对于声子晶体负泊松比效应基座的研究尚待实验验证，且对弹性体（橡胶）的阻尼效应也考虑不够，后续研究将针对这些问题深入研究。

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Abstract： In this paper， the local resonance reduction mechanism of phononic crystal cellular mount with auxetic effects is studied by establishing the dynamic model. The influence of the dynamic parameters （natural frequency ratio， mass ratio and damping ratio） on the vibration reduction performance of this mount is analyzed. It was shown that the frequency response of the cellular mount in the vicinity of the resonant frequency can be effectively reduced when the natural frequency of the phononic crystal is close to the natural frequency of the cellular mount. Then， the optimization design model of the phononic crystal auxetic cellular mount is established， and the phononic crystal structure with the specified local resonant frequency is obtained. The dynamic frequency response characteristics of this novel mount are calculated， which shows that the novel mount has better vibration reduction performance in low frequency resonance.

Key words： vibration reduction; phononic crystal; auxetic; cellular; mount

作者简介： 秦浩星（1989.），男，博士生。电话：15821170061;E.mail：qinhaoxing@163.com

通讯作者： 杨德庆（1968.），男，教授，博士生导师。E.mail：yangdq@sjtu.edu.cn