张晓辉，孙 燕

1 引言

Hom结构源于李理论中对向量场上的量子离散型形变的研究与刻画, 较早的例子出现在Witt代数与Virasoro代数上([2])。2006年, J. Hartwig等人([4])介绍了Hom-李代数的概念。与李代数相比, 其中的Jacobi恒等式在某个自同态下(称为Hom-结构映射)作了相应的扭曲。随着研究的深入, A. Makhlouf等学者陆续提出了Hom-代数, Hom-余代数等概念, 自然地, Hom-双代数和Hom-Hopf代数也被引入([6], [7])。随后, D. Yau研究了Hom-双代数上的拟三角结构([8]), 并由之得到了一组Hom型Yang-Baxter方程的解([9])。2011, S. Caenepeel和I. Goyvaerts引入了张量型Hom-Hopf代数的定义([1]), 这是一种特定范畴中的Hom-型代数, 从而将Hom-理论与范畴论结合在一起。关于Hom-型代数的最新研究, 可见文[3], [5], [8]等。

本文在上述研究的基础上, 给出了Hom-双代数的扭曲子的性质, 刻画了其所诱导的一类张量型Hom-双代数和双代数。

2 预备知识

本文中, 我们总是假定k为特征为0的代数闭域。

定义2.1([6]) 数域k上的一个k-Hom-代数A是指一个k-空间, 伴有k-线性的自同态αA:A→A, 和乘法μ:A⊗A→A, 及单位元1A, 使得对任意的a,b,c∈A, 有下列等式成立:

α(ab)=α(a)α(b),α(1A)=1A;

α(a)(bc)=(ab)α(c),a1A=1Aa=α(a)。

设A,A′均为k-Hom-代数, 线性映射f:A→A′被称为Hom-代数同态, 若f保持Hom-乘法及Hom-单位, 且αA′°f=f°αA。

定义2.2([6]) 数域k上的一个k-Hom-余代数C是指一个k-空间, 伴有k-线性的自同态αC:C→C, 和余乘Δ:C→C⊗C以及余单位ε:C→k, 对任意的c∈C, 有下列等式成立:

Δ(αC(c))=αC(c1)⊗αC(c2),ε°αC=ε;

αC(c1)⊗Δ(c2)=Δ(c1)⊗αC(c2),c1ε(c2)=ε(c1)c2=αC(c)。

设C,C′均为k-Hom-余代数, 线性映射f:C→C′被称为Hom-余代数同态, 若f保持Hom-余乘法及Hom-余单位, 且αC′°f=f°αC。

定义2.3([6]) 设B为k-空间, 若存在k-线性同构β:B→B, 使得(B,α,μ,1B)为Hom-代数, 同时(B,α,Δ,ε)为Hom-余代数, 且Δ,ε均为Hom-代数同态, 则称(B,α,μ,1B,Δ,ε)为Hom-双代数。

定义2.4([1]) 设H为k-空间, 若存在k-线性同构α:H→H, 使得(H,α,μ,1H)为Hom-代数, 同时(H,α-1,Δ,ε)为Hom-余代数, 且Δ,ε均为Hom-代数同态, 则称(H,α,μ,1H,Δ,ε)为张量型Hom-双代数。

注记2.5数域k上的一个Hom-双代数(B,α)同时为张量型Hom-双代数当且仅当B的Hom-结构映射α满足α2=idB。……