曾富红 司伟建 彭占立

摘要：      近年来， 基于稀疏表示的DOA估计方法已经被广泛提出， 这些方法都需预设离散的网格点， 而实际信号来波方向在空间域内具有随机性， 任何来波方向都是等概率出现， 很有可能信号的来波方向不在网格上， 因而会存在网格误差， 使DOA估计结果产生较大偏差。 为提高DOA估计精度， 本文提出了非网格的DOA估计模型。 同时， 为提高测向自由度， 本文应用由两个均匀线阵组成的互质阵列， 并且将两个均匀线阵平行放置在同一平面。 通过将两均匀线阵的互协方差矩阵向量化成互协方差矢量， 可得到一维虚拟扩展的接收数据矢量， 并且在稀疏表示框架下应用相应的稀疏恢复算法恢复出跟DOA参数相关的向量， 从该向量中得到唯一的并且自动配对的二维DOA估计参数。 仿真实验结果验证了本文算法较传统算法具有更好的DOA估计性能。

关键词：     互质阵列; 二维DOA估计; 非网格; 稀疏表示

中图分类号：      TJ765;  TN911.7 文献标识码：    A文章编号：     1673-5048（2019）03-0027-06[SQ0]

0引言

目前， 波达方向（Direction of Arrival，  DOA）估计[1-2]问题已经出现在多种应用领域中， 如雷达、 声呐、 射电天文学等[3-5]。 众所周知， 对于具有N个天线阵元的均匀线性阵列[6]， 常用的稀疏表示类[7]以及子空间类算法[8-9]均最多可分辨N-1个信号源。 为了检测更多的源， 一类新的非均匀线性阵列几何结构已被提出， 如嵌套阵列[10-11]和互质阵列[12-17]等。 对于非均匀阵列， 可以利用两种主要方法来增强自由度， 即协方差矢量化[13]和协方差拟合[18]。 通过矢量化接收信号的协方差矩阵， 形成具有较宽孔径的虚拟差集阵列以实现扩展的自由度。 冗余阵列的协方差矩阵具有Hermitian Toeplitz结构， 因而通过协方差拟合可以恢复， 并且可以获得扩展的自由度。 利用扩展的自由度， 文献[10]中的嵌套阵列结构可以仅用N个天线阵元分辨O（N2）个信号源。 但是， 由于其中一个子阵列的阵元位置很近， 因而嵌套阵列会遇到互耦问题， 从而影响DOA估计性能。 互质阵列结构[12]的阵元间距可大于半波长， 因此可以减少互耦效应， 甚至去除互耦效应。  本文中互质阵列的两个子阵列是平行放置在同一平面的， 因而利用O（M+N）個阵元能够最多分辨O（MN）个信号源。

近年来基于互质阵列扩展自由度的DOA估计算法已被广泛提出。 文献[13]提出了基于子空间的空间平滑MUSIC（SS-MUSIC）算法， 并表明了该方法能够估计比阵元数更多的信号源。 但SS-MUSIC算法需要知道信源的数量， 为此文献[19]提出了一种类MUSIC的子空间方法， 其中信源数是低秩去噪阶段的副产物。 然而， 文献[13， 19]中的子空间类算法需要连续的差集阵列和应用空间平滑技术， 这使得可利用的有效虚拟阵列孔径为连续虚拟阵列孔径的一半， 从而损失了一部分的扩展阵列自由度， 导致最终DOA估计性能受损。 最近， 一类基于稀疏度的估计方法[20]被提出， 利用空间信号谱稀疏的优势， 不需要应用秩恢复操作， 可利用所有扩展的虚拟阵列自由度， 因而相比于子空间类算法具有更优的DOA估计性能。 这些稀疏表示类算法需将感兴趣的角度范围离散为网格点， 并假定源的位置必须落在预定义的网格上。 但是， 实际中不管网格点设得有多密， 真实的DOA不可能均位于预先指定的网格点上， 从而导致网格不匹配问题的产生以及信号恢复性能恶化。 因而基于稀疏表示框架下的网格不匹配问题，

提出了基于非网格的DOA估计方法， 通过弥补网格偏差， 从而实现提高DOA估计精度的目的。  利用二维平行互质阵列的平行特性， 提出了一种高效的、 且DOA估计参数能够自动配对的二维DOA估计算法。

1信号模型

阵列几何结构如图1所示， 互质阵列的两个稀疏均匀线阵平行放置在x-y平面上， 沿Y轴摆放的N个阵元构成子阵列1， 各阵元间间距为Md， 与子阵列1平行且相距d的子阵列2由M个阵元组成， 且各阵元间间距为Nd， 其中M和N为互质数， d设为入射信号半波长。 假设有K个远场窄带信号（αk， βk）， k=1， …， K入射到该阵列上， 其中αk为入射信号与Y轴正向的夹角， βk为入射信号与X轴正向的夹角， 图1中的θ和对应传统的仰角和方位角， 与本文中使用的角度α及β之间有转化关系cos α=sin θ sin 及cos β=sin θ cos 。  两个子阵列的接收信号可表示为

将整个空间域[0°， 180°]以网格间隔τ均匀划分为L个网格点， 网格点集合可表示为（1， 2， …， L）， 则对应所有网格点计算阵列流形矩阵， 将AM和AN扩展为ΘM和ΘN，  且对应所有网格点将对角阵Λ扩展为

实际上， 式（3）所表示的互协方差矩阵只能通过有限快拍数据进行估计， 即R～c=（1/T）∑Tt=1xM（t）xHN（t）， 这将会导致协方差矩阵估计误差的存在， 从而使得算法的稀疏恢复性能受到影响， 因而应当考虑这一估计偏差， 构建一个扩展的稀疏表示框架。 用ε表示向量化的互协方差矩阵估计误差， 则根据文献[17]， ε服从均值为0且协方差矩阵为Q=1T（RTNRM）的近似高斯分布， 如下式所示：

3.1精度比较

利用式（23）中定义的均方根误差来衡量本文算法与文献[17]算法的精度。 假设两个不相关的窄带信号（α1， β1）=（55.7°， 68.4°）， （α2， β2）=（65.2°， 46.6°）入射到图1所示阵列上。 图2表示快拍数固定为500， 均方根误差随信噪比变化情况， 信噪比在-5 dB到15 dB之间以间隔2 dB取值; 图3表示信噪比固定为10 dB， 两种算法的均方根误差随快拍数变化曲线， 快拍数设置为从100到800以间隔50取值。

由图2可以看到， 随着信噪比的增加， 两种算法的均方根误差都在减小， 且本文算法的均方根误差一直小于文献[17]算法。 由图3中可以看出， 随着快拍数的增加， 两种算法的均方根误差都在减小， 且本文算法的均方根误差一直小于文献[17]算法。 因而可得出结论： 本文算法的DOA估计精度高于文献[17]算法。

3.2多信源条件下DOA估计性能比较

（1） 超定情况： 考虑8个窄带信号源入射到图1所示阵列上， 设入射信号信噪比为10 dB， 采样快拍数为500。 所有入射信号角α在[30.8°， 170.8°]中均匀取值， 角β在[25.8°， 175.8°]中均匀取值， 得到两种算法的DOA估计结果如图4所示。

（2） 欠定情况： 考虑11个窄带信号源入射到图1所示阵列上， 设入射信号信噪比为10 dB， 采样快拍数为500。 为方便观察， 选取的所有入射信号角α及角β相同， 设为21.81°， 29.68°， 38.22°， 47.92°， 59.97°， 68.92°， 80.61°， 98.89°， 115.66°， 134.99°， 155.88°， 得到两种算法的DOA估计结果如图5所示。

由图4可看出， 两种算法都能估计出所有信源的大概位置， 但本文算法估计出的DOA与真实角度位置大概重合， 而文献[17]算法的角度估计值在某些信源处与真实角度位置差异较大。 图5中， 入射信源为11个， 大于实际物理阵元个数（9个）， 此时利用本文算法还能正确估计出入射信源位置， 由此可知， 本文算法有效地扩展了阵列自由度， 而文献[17]算法虽能估计出大部分信源， 但还有2个信源估计失败， 因而可得出结论： 多信源情况下，  本文算法具有更好的估计性能， 尤其是在信源数多于阵元数（欠定）情况下， 相对于文献[17]算法， 本文算法估计性能更佳。

4结论

本文提出了一种基于双平行互质阵列的二维非网格DOA估计算法。 首先对互质阵列的两个子阵列的接收信号求互协方差矩阵， 并向量化该互协方差矩阵得到互协方差矢量， 再在整个空间域内稀疏扩展互協方差矢量， 从而能够通过仅仅一维字典矩阵获得唯一的、 自动配对的二维DOA估计。 同时， 该算法能够利用互质阵列的特性， 应用M+N个物理阵元实现MN的自由度。 应用相似的阵列结构， 本文算法拥有比传统算法更优良的DOA估计性能， 所应用的稀疏表示方法能够解相干， 可以分辨出相关甚至相干信号。 但本文算法计算复杂度较高， 引入非网格误差， 增加了计算量， 且算法需要迭代， 比较费时， 因而未来的研究方向是快速实现算法， 提高算法的运算效率。

参考文献：

[1] 李鹏飞， 张旻， 钟子发. 基于空间角稀疏表示的二维DOA估计[J].电子与信息学报， 2011， 33（10）：  2402-2406.

Li Pengfei，  Zhang Min，  Zhong Zifa. Two Dimensional DOA Estimation Based on Sparse Representation of Space Angle [J]. Journal of Electronics & Information Technology，  2011， 33（10）：  2402-2406. （in Chinese）

[2] 陈媛， 刘金磊， 孙奇福， 等. SαS分布噪声环境下高分辨率二维DOA估计算法及快速实现[J]. 电子学报， 2018（6）： 1384-1389.

Chen Yuan，  Liu Jinlei，  Sun Qifu，  et al. A High Resolution Algorithm for 2DDOA Estimation and Its Fast Implementation in the Presence of SαS Distributed Noise [J]. Chinese Journal of Electronics，  2018（6）： 1384-1389. （in Chinese）

[3] Krim H，   Viberg M.  Two Decades of Array Signal Processing Research：The Parametric Approach[J].IEEE Signal Processing Magazine， 1996， 13（4）： 67-94.

[4] Bekkerman  I， Tabrikian  J. Target Detection and Localization Using MIMO Radars and Sonars[J]. Transactions on Signal Process， 2006，  54：  3873-3883.

[5] So H C. Source Localization： Algorithms and Analysis[M].Handbook of Position Location： Theory， Practice， and Advances， John Wiley & Sons， Inc.， 2011： 25-26.

[6] Dai Jisheng， Xu Weichao， Zhao Dean. RealValued DOA Estimation for Uniform Linear Array with Unknown Mutual Coupling[M]. Elsevier NorthHolland， Inc.， 2012： 2056-2065.

[7] Zhang Y D， Amin M G， Himed B. SparsityBased DOA Estimation Using CoPrime Arrays[C]∥IEEE International Conference on Acoustics， Speech and Signal Processing （ICASSP）， Vancouver， 2013： 3967-3971.

[8] Schmidt R， Schmidt R O. Multiple Emitter Location and Signal Parameters Estimation[J]. IEEE Transactions on Antennas & Propagation， 1986， 34（3）： 276-280.

[9] Roy R， Kailath T. ESPRITEstimation of Signal Parameters via Rotation Invariance Techniques[J]. IEEE Transactions on Acoustics Speech and Signal Processing， 1989，37 （7）： 984-995.

[10] Pal P， Vaidyanathan P P. Nested Arrays： A Novel Approach to Array Processing with Enhanced Degrees of Freedom[J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 2010， 58（8）：  4167-4181.

[11] Si Weijian， Peng Zhanli， Hou Changbo， et al. TwoDimensional DOA Estimation for ThreeParallel Nested Subarrays via Sparse Representation[J]. Sensors， 2018， 18（6）： 1861.

[12] Vaidyanathan P P， Pal P. Sparse Sensing with CoPrime Samplers and Arrays[J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 2011， 59（2）：  573-586.

[13] Pal P， Vaidyanathan P P. Coprime Sampling and the Music Algorithm[C]∥2011 Digital Signal Processing and Signal Processing Education Meeting （DSP/SPE）， Sedona， 2011：  289-294.

[14] Qin S， Zhang Y D， Amin M G. Generalized Coprime Array Configurations for DirectionofArrival Estimation[J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 2015， 63（6）： 1377-1390.

[15] Weng Z， Djuric P M. A SearchFree DOA Estimation Algorithm for Coprime Arrays[J]. Digital Signal Processing， 2014， 24： 27-33.

[16] Si Weijian， Zeng Fuhong， Hou Changbo， et al. A Spar seBased OffGrid DOA Estimation Method for Coprime Arrays[J]. Sensors， 2018， 18（9）： 3025.

[17] Li Jianfeng， Jiang Defu， Zhang Xiaofei. Sparse Representation Based TwoDimensional Direction of Arrival Estimation Using CoPrime Array[J]. Multidimensional Systems and Signal Processing， 2018， 29（1）： 35-47.

[18] Yang Zai， Xie Lihua， Zhang Cishen. A DiscretizationFree Sparse and Parametric Approach for Linear Array Signal Processing[J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 2014， 62（19）： 4959-4973.

[19] Pal P， Vaidyanathan P P. A GridLess Approach to Underdetermined Direction of Arrival Estimation via Low Rank Matrix Denoising[J]. IEEE Signal Processing Letters， 2014， 21（6）： 737-741.

[20] Zhou Chengwei， Shi Zhiguo， Gu Yujie， et al. DOA Estimation by Covariance Matrix Sparse Reconstruction of Coprime Array[C]∥2015 IEEE International Conference on Acoustics， Speech and Signal Processing （ICASSP），  Brisbane， 2015： 2369-2373.

[21] Yang Zai， Xie Lihua， Zhang Cishen. OffGrid Direction of Arrival Estimation Using Sparse Bayesian Inference[J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 2013， 61（1）： 38-43.

[22] CVX： MATLAB Software for Disciplined Convex Programming [EB/OL]. （2018-06-10）[2018-10-22].http：∥cvxr.com/cvx.