德米特里·波戈列洛夫 雷强 根纳季·米克希夫 亚历山大·罗迪科夫

摘要：基于大型通用多体动力学仿真分析平台Universal Mechanism（UM），开发用于磁浮列车-轨道梁耦合振动仿真的专用程序UM Maglev，其中：磁浮列车设置为多刚体模型，弹簧和阻尼器的刚度和阻尼视为线性或非线性力元;轨道梁设置为三维铁木辛柯梁模型，或从外部有限元软件导入模态分析结果;轨道线路包含平面和纵断面曲线、超高和轨面随机不平顺;悬浮和导向系统控制采用PID模型;多体动力学系统微分-代数方程求解采用Park刚性稳定法。该程序可用于考察磁浮列车的曲线通过性能、运行平稳性和乘坐舒适度，研究悬浮/导向气隙与磁浮控制系统参数优化，分析轨道梁在动态电磁力作用下的振动响应。

关键词：磁浮列车;轨道;振动;耦合;多体动力学;数值积分

中图分类号：U237;U441.7

文献标志码：B

文章编号：1006-0871（2019）01-0028-08

0 引 言

磁浮交通具有磨耗小、噪声低、曲线通过和爬坡能力强等优点，既适用于城市轨道交通（中低速），又适用于国内/国际干线交通（高速），有良好的发展前景。目前，国内外的磁浮线主要有电磁悬浮（electromagnetic suspension， EMS）和电动悬浮（electrodynamic suspension， EDS）2种制式。德国的Transrapid、日本的HSST、韩国的UTM和中国的CMS系列均为EMS型。这种类型的磁浮列车需要施加主动控制以实现稳定悬浮。磁浮轨道一般采用高架桥方式，列车以一定速度通过轨道梁会引发梁的振动，梁的振动又会影响列车系统，甚至会发生共振，不仅影响乘坐舒适度，而且不利于轨道梁的安全，因此有必要开展磁浮列车-轨道梁系统耦合振动的研究。[1-10]

ZHAI等[11]基于MATLAB平台建立上海高速磁浮线TR08型磁浮车辆与高架磁浮轨道耦合动力学模型，其中：车辆为多刚体模型，共计133个自由度;磁浮控制系统为基于“位移-速度-加速度”反馈的单电磁铁比例-积分-微分（proportion-integral-derivative，PID）控制模型;磁浮轨道为“欧拉-伯努利”梁模型，未考虑轨道梁的剪切和扭转效应。梁鑫等[12]基于SIMPACK平台建立高速磁浮车辆多刚体动力学模型和基于“位移-速度-加速度”反馈的单电磁铁PID控制模型，并将ANSYS计算得到的轨道梁模态导入到SIMPACK中，但其模态计算方法为缩减法，采用主自由度计算特征值和特征向量，只能生成近似的质量矩阵，导致系统总质量损失，精度受使用者选择的主自由度数目和位置影响较大。刘德军等[13]和李小珍等[14]基于自主研发的车桥耦合振动分析软件VRBIM和VTBIM建立中低速磁浮车辆-控制器-桥梁耦合动力学模型，车辆为多刚体模型，桥梁为有限元模型，控制系统为基于“位移-速度”反馈的比例-微分（proportion-derivative，PD）控制模型，未考虑加速度反馈，分析磁浮车桥系统的垂向动力，未分析磁浮车桥系统的横向耦合作用。

自1985年起，德米特里·波戈列洛夫开始研发大型通用多体动力学仿真分析平台Universal Mechanism（UM），然后带领团队经过30多年的持续研究，陆续开发铁道机车车辆、公路车辆、履带车辆、单轨列车、轮轨磨耗、刚柔耦合、车桥耦合、疲劳耐久性、滚动接触疲劳、柔性轨道和柔性轮对等20多个专业动力学分析模块，其中大部分应用于轨道交通领域。本文基于现有的单轨列车、柔性轨道和刚柔耦合等模块，开发磁浮交通专用模块UM Maglev，联合多体动力学、有限元法和现代控制理论，可实现磁浮列车-轨道梁耦合振动仿真。

1 磁浮列车-轨道系统动力学模型

工程研究的对象一般可分为机构和结构两大类。诸如汽车、履带车辆、机车车辆和磁浮列车等，具有大范围运动特征的系统，通常由复杂的机械构件和弹性元件组成，构件之间有明显的相互运动，此类系统为机构。对于机构的动力学性能研究，最有效的办法是采用多刚体方法建立数学模型。另如桥梁、建筑和隧道等本身不发生或不需要研究其大范围运动的系统，通常其系统刚度、强度和稳定性为关注点，此类系统为结构。对于结构的力学性能研究，一般采用有限元法建立数学模型，如巡线机器人、无人驾驶汽车、智轨列车和磁浮列车等系统，均采用复杂的主动控制技术，以实现系统的自动启停、导向、平衡和调节。若要研究此类系统的动力学行为，必须建立控制系统模型。因此，磁浮列车-轨道耦合动力学仿真研究必须联合使用多刚体方法、有限元法和自动控制理论。

1.1 磁浮列车多体系统模型

在动力学范畴，刚体是高度抽象的概念，用于表示变形可忽略不计的物体，实则是一个连续分布的质点系。在运动过程中，刚体上任意两点间的距离保持不变。刚体的输入参数为质量、转动惯量和质心坐标。多个刚体通过铰或力元有序连接，形成多刚体系统，多体系统拓扑示意见图1。铰用于描述两个刚体的相对运动关系，如平动和转动。力元用于描述系统内的弹性元件，如钢弹簧、空气弹簧、减振器、牵引拉杆和抗侧滚扭杆等。这些元件都有一定的刚度和阻尼特性，往往具有较大的弹性变形，对系统的动力学性能影响较大，不能视为刚体。

对于磁浮车辆，通常将车体、悬浮架和电磁铁视为刚体，忽略其弹性变形，其中：车体和悬浮架相对于总体坐标系都具有3个平动和3个转动自由度，悬浮架与车体之间连接的空气弹簧和减振器用线性或非线性力元描述。悬浮架通常具有复杂的结构形式，电磁铁相对于悬浮架有不同数目的自由度，电磁铁与悬浮架之间采用弹性连接，实现自由度解耦，以便独立控制。

典型的“車体-悬浮架-电磁铁”车辆系统动力学拓扑结构示意见图2。如需进一步研究，还可以将悬浮架分解为多个刚体组成的系统，或通过有限元软件导入弹性体模态。利用子系统技术，先将一节车辆封装为一个子系统，然后对子系统进行复制操

作，可快速完成列车的建模，同时可考虑相邻车辆之间的纵向黏弹性连接，见图3。

1.2 磁浮轨道梁有限元模型

1.2.1 三维铁木辛柯梁模型

基于三维铁木辛柯梁理论，考虑梁的剪切和扭转变形，可开发参数化的等截面柔性轨道梁有限元模型。[15]沿着轨道线路（直线/曲线）的桥梁模型可视为若干段简支梁和连续梁的组合，每一跨划分为若干个梁单元，桥梁支座用六向刚度阻尼力元模拟，柔性轨道梁模型见图4。

1.2.2 外部导入模态

对于复杂的桥梁和轨道结构，可在有限元软件中建立实体/板壳单元模型，通过Craig-Bampton固定界面模态综合法进行自由度缩减，以弹性子系统的形式导入，与多刚体系统组建刚柔耦合系统，进行动力学分析。模态计算采用分块Lanczos或子空间迭代法，无须选择主自由度，采用完整的刚度矩阵和质量矩阵，计算精度较高。[16]

假设弹性体的微小变形可由一组模态坐标来表示，则

根据Craig-Bampton方法，模态矩阵是一系列主模态（固有模态）和约束模态（静模态）的线性组合。对于已经划分好网格的有限元模型，模态综合主要分为以下步骤：

（1）选择Ni个界面（边界/交互）节点，见图5。这些节点通常位于与外部其他物体连接处，如桥梁支座。

（2）将Ni个界面节点的6个自由度全部约束，计算主模态（见图6），指定模态阶数Ne。主模态[WTHX]y[WTBX]的计算式为

（3）依次给定每个界面节点每个自由度方向单位位移，同时保持其余界面节点为全约束状态，计算约束模态（见图7），共6Ni阶。

（4）剔除6阶刚体模态，计算广义质量矩阵和刚度矩阵，进行模态正交归一化，最终模态阶数为

H=6Ni+Ne-6。

某曲线轨道梁连续两跨自由模态见图8。该梁跨距30 m，采用六面体划分网格，单元总数为77 403个，节点总数为90 601个，界面节点3个。在有限元软件中提取80阶主模态和18阶约束模态，正交归一化后为92阶自由模态，对应92个自由度。

1.3 磁浮控制模型

由于EMS型磁浮车辆靠吸引力悬浮，系统本身不能自稳，必须加入主动控制。一般可通过多体系统动力学计算获得位移、速度和加速度等变量结果，输出给控制系统，经运算得到电磁力，再反馈给多体系统[17]：如此反复迭代。自动控制原理见图9。

1.3.1 弹簧阻尼控制模型

弹簧阻尼控制模型是最简单的线性控制模型，常用于磁浮车辆系统线性分析，以获得系统的固有频率和特征值。弹簧阻尼控制模型方程为

1.3.2 单电磁铁控制模型

基于“位移-速度-加速度”反馈的单电磁铁PID控制模型，常用于高速磁浮车辆动力学仿真，其悬浮和导向系统独立控制。单电磁铁模型见图10。

1.3.3 U型电磁铁控制模型

U型电磁铁常用于中低速磁浮车辆动力学仿真[13]，相对于高速磁浮，其没有独立的导向控制。当车辆相对轨道发生横移运动时，电磁力会自动产生横向分力，促使车辆恢复到轨道中心。

1.3.4 外部导入控制模型

对于更加复杂的控制模型，可使用专业的自动控制仿真程序UM Block Editor或MATLAB/Simulink建模，与UM软件实现联合仿真，外部控制系统模型见图11。

2 磁浮大系统耦合及求解

磁浮大系统由列车子系统、轨道梁子系统和控制子系统等3部分组成，其中：轨道梁分为刚性区段和柔性区段，仿真初始时将列车全部置于刚性区段。磁浮列车-轨道梁耦合模型见图12，轨道梁截面相关特性见文献[18]。

在进行磁浮大系统耦合动力学仿真计算时，除建立轨道线路的宏观几何模型（平面和纵断面曲线）外，还需要考虑微观的轨面不平顺[19]，其幅值通常是几毫米。

一般可根据功率谱密度函数反演得到空间的不平顺样本，也可采用实测数据。某轨面随机不平顺样本见图13，S计算公式为

当列车运行至柔性轨道梁段时，电磁力作用于轨道梁，程序自动搜寻附近的控制区域，并将电磁力分解到控制区域的几个节点上，然后将节点位移和速度以不平顺激励形式反馈给列车控制系统，电磁力的传递见图14。

采用著名的Park刚性稳定法对系统进行积分求解。Park方法是一种具有“预估-校正”格式的隐式变步长算法。刚柔耦合系统往往出现大量的刚性（病态）微分-代数方程，Park方法是求解此类方程最有效的积分方法之一。[20-21]

磁浮列车驱动可采用一般多体轨道车輛仿真技术，即赋予列车一定初速度（如车-桥耦合研究），也可建立复杂的驱动机构，与电磁学、控制理论联立，研究磁浮列车驱动等。

某高速磁浮列车-轨道梁耦合动力仿真过程见图15，跟随电磁铁的曲线轨道梁位移曲线见图16。

3 软件模型验证

为验证软件的正确性，以文献[22-24]中的中低速磁浮列车为例，建立考虑F轨、钢轨枕和轨道的中低速磁浮列车-轨道梁耦合动力分析模型。车辆、F轨、钢轨枕、轨道梁等参数详见文献[22-24]。当列车速度为80 km/h时，桥梁跨中竖向位移、桥梁跨中竖向振动加速度、车体前端竖向振动加速度仿真结果与实测对比分别见图17～19。由此可知，程序仿真计算与文献实测数据吻合较好。

4 结束语

UM Maglev融合多体动力学、有限元法和现代控制理论，可建立完整的“磁浮列车-轨道梁”耦合动力学系统，具有良好的通用性和可扩展性。借助Park刚性稳定法，可高效精确地求解系统的微分-代数方程，获得列车与轨道梁的动力学响应。该程序可用于研究磁浮列车的曲线通过性能、运行平稳性和乘坐舒适度，进行悬浮气隙与磁浮控制系统参数优化，以及轨道梁在动态电磁力作用下的振动响应分析。

参考文献：

[1] MEISENHOLDER S G， WANG T C. Dynamic analysis of an electromagnetic suspension system for a suspended vehicle system[EB/OL]. （1973-03-09）[2018-08-01]. https：//trid.trb.org/view.aspx？id=7743.

[2] NAGURKA M L， WANG S K. A superconducting maglev vehicle/guideway system with preview control[J]. Journal of Dynamic Systems， Measurement， and Control， 1997， 119（4）：638-649. DOI：10.1115/1.2802372.

[3] REN S， ROMEIJN A， KLAP K. Dynamic simulation of maglev vehicle/guideway system[J]. Journal of Bridge Engineering， 2010， 15（3）：269-278. DOI：10.1061/（ASCE）BE.1943-5592.0000071.

[4] HGELE N， DIGNATH F. Vertical dynamics of maglev vehicle transrapid[J]. Multibody System Dynamics， 2009， 21（3）：213-231. DOI：10.1007/s11044-008-9136-0.

[5] GOTTZEIN E， MEISINGER R， MILLER L. “Magnetic wheel” in suspension of high-speed ground transportation vehicles[J]. IEEE Transactions on Vehicular Technology， 1980， 29（1）：17-23. DOI：10.1109/T-VT.1980.23817.

[6] SHEN G， MEISINGER R， SHU G. Modelling of a high-speed maglev train with vertical and lateral control[J]. Vehicle System Dynamics， 2008， 46（S1）：643-651. DOI：10.1080/00423110802033056.

[7] BRZEZINA W， LANGERHOLC J. Lift and side forces on rectangular pole pieces in two dimensions[J]. Journal of Applied Physics， 1974，45（4）： 1869-1872. DOI：10.1063/1.1663505.

[8] ZHAO C F， ZHAI W M， WANG K Y. Dynamic responses of low-speed maglev vehicle on curved guideway[J]. Vehicle System Dynamics， 2002， 38（3）：185-210.

[9] MIN D J， LEE J S， KIM M Y. Dynamic interaction analysis of actively controlled maglev vehicles and guideway girders considering nonlinear electromagnetic forces[J]. Journal of Korean Society of Civil Engineers Magazine， 2012， 1（1）：39-57. DOI：10.12989/csm.2012.1.1.039.

[10] DELLNITZ M， DIGNATH F， FLAKAMP K， et al. Modelling and analysis of nonlinear dynamics of transrapid and its guideway[C]//Proceedings of Progress in Industrial Mathematics at ECMI 2010. Berlin：Springer， 2012：113-123. DOI：10.1007/978-3-642-25100-9_14.

[11] ZHAI W M， ZHAO C F， CAI C B. Dynamic simulation of EMS maglev vehicle-guideway-controller coupling system[EB/OL]. （2004-12-31）[2018-08-01]. http：//www.maglev.ir/eng/documents/papers/conferences/maglev2004/topic5/IMT_CP_M2004_T5_15.pdf.

[12] 梁鑫， 羅世辉， 马卫华， 等. 磁浮列车单铁悬浮车桥耦合振动分析[J]. 交通运输工程学报， 2012， 12（2）：32-37.

[13] 刘德军， 李小珍， 洪沁烨， 等. 中低速磁浮列车-大跨度连续梁耦合振动研究[J]. 铁道工程学报， 2017， 34（9）：53-57.

[14] 李小珍， 洪沁烨， 耿杰， 等. 中低速磁浮列车-轨道梁竖向耦合模型与验证[J]. 铁道工程学报， 2015， 32（9）：103-108.

[15] KNOTHE K L， GRASSIE S L. Modelling of railway track and vehicle-track interaction at high frequencies[J]. Vehicle System Dynamics， 1993， 22（3-4）：209-262. DOI：10.1080/00423119308969027.

[16] RICCARDO F. A numerical program for railway vehicle-track-structure dynamic interaction using a modal substructuring approach[D]. Reggio Calabria：University of Reggio Calabria， 2013.

[17] GOTTZEIN E， LANGE B. Magnetic suspension control systems for MBB high speed train[J]. Automatica， 1973， 11（3）：271-284. DOI：10.1016/0005-1098（75）90043-6.

[18] 劉华清， 李志业， 任恩恩. 德国磁悬浮列车Transrapid[M]. 成都：电子科技大学出版社， 1995.

[19] SHI J， FANG W S， WANG Y J， et al. Measurements and analysis of track irregularities on high speed maglev lines[J]. Journal of Zhejiang University：Science A：Applied Physics & Engineering， 2014， 15（6）：385-394. DOI：10.1631/jzus.A1300163.

[20] PARK K C. An improved stiffly stable method for direct integration of nonlinear structural dynamic equations[J]. Journal of Applied Mechanics， 1975， 42（2）：464-470. DOI：10.1115/1.3423600.

[21] POGORELOV D. Differential-algebraic equations in multibody system modeling[J]. Numerical Algorithms， 1998， 19（1）：183- 194. DOI：10.1023/A：1019131212618.

[22] 耿杰， 王党雄， 李小珍， 等. 中低速磁浮列车-简支梁系统耦合振动试验研究[J]. 铁道学报， 2018， 40（2）：117-124. DOI：10.3969/j.issn.1001-8360.2018.02.016.

[23] 谢海林. 中低速磁浮交通系统工程化应用：长沙磁浮快线[M]. 北京：中国铁道出版社， 2018.

[24] LI X Z， WANG D X， LIU D J， et al. Dynamic analysis of interactions between a low-to-medium-speed maglev train and a bridge：Field test results of two typical bridge[C]// Proceedings of Institution of Mechanical Engineers：Part F：Journal of Rail and Rapid Transit， 2018， 232（7）：1-21. DOI：10.1177/0954409718758502.

（编辑 武晓英）