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“三杆+轨”问题是中学“杆+轨”模型在单杆和双杆题型基础上衍生的一种新的物理模型。作为中学物理考查动生类电磁感应问题的重要载体，三杆与导轨的结合不仅使试题延续了传统“杆+轨”问题中的研究对象多、综合知识点多、分析情境复杂、知识和能力综合性强等特点，而且还增强了对学生物理思维、科学探究等核心素养的考查。不论对教师命题还是学生解题都是一个新的研究课题，因此积极探索三杆问题的命题情境和分析策略，编制契合高考考纲要求的试题体系，对增强学生物理建模的能力，培育学生处理问题的能力，提升学生物理思维都具有积极的意义。

【方向1】三杆均置于磁场内，杆1切割，束缚杆2、3均处于静止。

【设计思路】设计三根导体杆放置于同一磁场或不同磁场内(如图1)，其中杆1切割磁感线，而杆2和杆3均于磁场中处于静止状态。

图1

【分析策略】杆2和杆3在磁场中相当于电阻，模型的本质仍是单杆问题，解题时可分别对动杆和束缚杆进行受力分析，动杆按单杆模型动态分析，综合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律、动能定理求解，受外力约束而静止的束缚杆应用平衡条件处理，然后以电流强度作为桥梁联立分析即可，在分析时要注意电源的位置及三杆的连接方式。

【例1】如图2所示，间距为L、电阻不计的平行金属导轨OPQ和LMN分别固定在两个竖直面内，在水平面PQMN区域内有方向竖直向上、大小为B1的匀强磁场，倾角为θ的斜面OPML区域内有方向垂直于斜面向上、大小为B2的匀强磁场。将质量为m、电阻为R、长为L的三根导体棒放置在导轨上，其中棒2的两端分别固定在P、M点，表面粗糙的棒3放置在倾斜导轨上，刚好不下滑，光滑的棒1在水平外力作用下由静止开始以恒定的加速度a沿水平导轨向右运动，棒1始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，滑动过程中始终处于竖直磁场中，重力加速度为g。求：

(1)棒3刚要向上滑动瞬间，棒3中电流I的大小和方向；

(2)棒3刚要向上滑动瞬间，水平外力的功率P。

图2

【解析】(1)开始时，棒3刚好不下滑，根据平衡条件

mgsinθ=Ff

棒3刚要上滑的瞬间，根据平衡条件

B2IL=mgsinθ+Ff

通过棒3的电流方向沿棒垂直纸面向里。

(2)将棒2、棒3看成定值电阻，根据串并联关系得

I总=2I

以棒1为研究对象，根据法拉第电磁感应定律得

E=B1Lv

根据牛顿第二定律F-B1I总L=ma

棒3刚要上滑的瞬间，拉力的功率P=Fv

【点评】棒2和棒3受约束处于静止状态，在电路中可看成定值电阻，棒1在磁场中做切割磁感线运动产生感应电动势，根据回路的串并联关系可得出棒1和棒3电流的关系，对棒3受力分析，由平衡条件可求出通过棒3的电流大小及方向，结合感应电动势、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律和功率公式即可联立求解。

【方向2】三杆均置于磁场内，杆1切割，杆2处于静止，杆3沿磁场方向共线运动(v3∥B)。

【设计思路】设计三根导体杆放置于同一磁场或不同磁场内(如图3)，其中杆1运动切割磁感线，而杆2约束处于静止状态，杆3(共线杆)于磁场中沿磁场方向运动。

图3

【分析策略】杆2受约束处于静止状态，相当于定值电阻，共线杆由于速度方向平行于磁场方向没有产生感应电动势，模型的本质仍是单杆问题，题型分析策略是切割杆按单杆模型进行分析和处理，受外力束缚而静止的束缚杆根据平衡条件处理，共线杆则进行动态分析，寻找最终稳态的动力学关系，以电流为桥梁联立三杆方程进行求解。

【例2】相距L=1 m的足够长金属导轨竖直放置，质量为m1=1 kg的金属棒ab和质量为m2=0.27 kg的金属棒cd均通过棒两端的套环水平地套在金属导轨上，金属棒ef固定于金属导轨上，如图4所示，虚线上方磁场方向垂直纸面向里，虚线下方磁场方向竖直向下，两处磁场磁感应强度大小相同。ab棒光滑，cd棒与导轨间动摩擦因数为μ=0.75，三棒的电阻均为R=0.3 Ω，导轨电阻不计。t=0时刻起，ab棒在方向竖直向上、大小按图5所示规律变化的外力F作用下，由静止沿导轨向上匀加速运动，同时由静止释放cd棒。(g取10 m/s2)

图4

图5

(1)求磁感应强度B的大小和ab棒加速度大小；

(2)已知在2 s内外力F做功40 J，求这一过程中金属棒cd产生的焦耳热；

(3)求出cd棒达到最大速度所对应的时刻t1。

【解析】(1)导体棒ab在匀加速运动的过程中，ef棒始终处于静止，cd棒运动方向与磁场方向平行没有产生感应电动势，闭合回路仍为单电源问题。

设经过时间t，金属棒ab的速率v=at

回路中的感应电流为

对金属棒ab，由牛顿第二定律得

F-m1g-BIL=m1a

由图5可知

t1=0时，F1=11 N

t2=2 s时，F2=14.6 N

代入解得a=1 m/s2，B=0.9 T

(2)在2 s末金属棒ab的速率vt=at=2 m/s

电路中产生的总热量Q=6Qcd

联立以上方程解得Qcd=3 J

(3)由题意可知，cd棒先做加速度逐渐减小的加速运动，当cd棒所受重力与滑动摩擦力相等时，速度达到最大；然后做加速度逐渐增大的减速运动，最后停止运动。

当cd棒速度达到最大时，有m2g=μBIcdL

整理得t1=4 s

【点评】棒ef受约束处于静止状态，在电路中可看成定值电阻，棒ab运动产生感应电动势，棒cd共线杆没有感应电动势，本题仍为单电源问题，结合单杆问题的分析思路和数学知识(斜率和截距)，即可求磁感应强度B的大小和ab棒加速度大小；动态分析cd棒的运动情况，得出当cd棒所受重力与滑动摩擦力相等时，速度达到最大，由平衡条件可求出电路中的电流，再由E=BLv、欧姆定律和运动学公式结合求解时间t1。

【方向3】两杆发生完全非弹性碰撞，碰撞后与杆3在磁场中同时切割磁感线。

【设计思路】设计三根导体杆放置于同一磁场、不同磁场或磁场内外(如图6)，其中杆2运动与杆3发生完全非弹性碰撞，碰后三杆于磁场中切割磁感线。

图6

【例3】如图7所示，一上、下两层均与水平面平行的U形光滑金属导轨放置于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中，两导轨面高度差为H，导轨宽为L，导轨足够长且电阻不计，在导轨面上各放一根质量均为m、阻值均为R的匀质金属杆2和3。开始时两根金属杆位于同一竖直面内，杆与轨道垂直且处于锁定状态，现有一质量为m、阻值为R的金属杆1于金属杆2的左侧相距L处以水平速度v0向右运动，与金属杆2相碰(作用时间极短)并粘连一起，碰撞前瞬间同时解除杆2和杆3的锁定使两杆能沿导轨自由滑动，求：

(1)杆1向右运动L过程中通过杆1的电量q；

(2)杆1和杆2碰撞后瞬间的速度大小；

(3)整个运动过程中回路的感应电流产生的总焦耳热。

图7

(2)对杆1任一极短时间Δt内应用动量定理得

-BIL·Δt=mΔv，即-BL·Δq=mΔv

由于在极短时间内上式均成立，故在杆1运动至碰撞前过程中也成立，则有

-BLq=mv1-mv0

杆1和杆2碰撞瞬间，取杆1和杆2为系统，由动量守恒定律得mv1=2mv2

(3)杆1碰撞前在安培力作用下做减速运动，安培力做负功将棒的动能转化为电能，再通过电流做功将电能转化为内能，故焦耳热等于杆1的动能减少量，由动能定理得

杆1和杆2碰撞之后在安培力的作用下，两杆做减速运动，杆3在安培力作用下做加速运动，当三杆速度大小相等时，回路内感应电流为0，之后三杆做匀速直线运动，根据动量守恒定律得

2mv2=3mv3

根据系统的能量守恒定律得

故整个过程回路产生的总焦耳热为

【方向4】三杆均放置于磁场内，同时切割磁感线。

【设计思路】设计三根导体杆放置于同一磁场或不同磁场内(如图8)，赋予相同或不同的速度同时切割磁感线产生感应电动势。

图8

【分析策略】三杆在磁场中同时切割磁感线时，产生三个感应电动势，模型会涉及三个电源的连接方式和三杆的动态分析问题，基于《考试大纲》的要求，试题的编制仍限定于电源串联方式的讨论。与双杆同时切割模型类似，在涉及动态分析时，要注意杆系统有外力作用和无外力作用的最终稳态问题。

【例4】如图9所示，三根光滑金属导轨ABC、DEF和GH水平固定，AB、EF平行于GH，BC平行于DE，导轨间距均为L，电阻不计，且整个导轨平面均处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B。三根金属棒a、b、c垂直放置在导轨上，与导轨接触良好，其中a、b两金属棒质量均为m，电阻均为R，c金属棒质量为2m，电阻为2R，开始时金属棒a、b处于静止状态，给c棒初速度v0向右运动，假设轨道足够长，棒a只在轨道AB与GH上运动，棒b只在轨道BC与DE上运动。求：

(1)金属棒a、b、c最终稳定的速度分别为多少；

(2)金属棒a从开始运动到最终稳定所产生的热量；

(3)在三根金属棒的整个运动过程中金属棒a、b、c与水平导轨围成面积的变化量。

图9

【解析】(1)导轨光滑，所以在运动过程中a、b、c不受摩擦力作用，在水平方向只受安培力，棒c以初速度v0向右运动，则回路产生逆时针方向电流，c受向左的安培力，a受向右的安培力，b受安培力方向沿CB方向，所以a、b均开始做加速运动，c做减速运动，a、b产生的感应电动势与c方向相反，当三者产生的感应电动势互相抵消时，回路电流为零，达到稳定平衡状态，三棒同时开始做匀速运动，故最终稳定时Ec=Ea+Eb，即BLvc=BLva+BLvb①

对金属棒a，根据动量定理得BLqa=mva-0 ②

对金属棒b，同理得BLqb=mvb-0 ③

对金属棒c，同理得-BLqc=2mvc-2mv0④

由于a、b、c始终串联，故qa=qb=qc

联立②③得vb=va⑤

(2)取金属棒a、b、c为系统，根据系统的动能定理得

由于通过金属棒的电流相同，故产生的热量与电阻成正比，得

(3)取金属棒a，由动量定理得BLq=mva，得

【点评】多轨多杆问题的分析重点在于注意金属棒的动态运动过程，明确在自由滑动的条件下金属棒都匀速运动时回路中总电动势为零，要了解多个电源在电路中的连接特征，知道运用动量定理是求电磁感应中电量、动能定理是求热量的常用思路。