林亚君 陈学军 陈越

摘   要：随着电网规模变大，利用稳定双共轭梯度法（Bi-CGSTAB）求解潮流计算中的修正方程组时，收敛速度会变得很慢。通过寻找合适的预处理矩阵是解决问题的关键。研究了雅可比矩阵预处理方法，针对牛顿法求解潮流过程中雅可比矩阵的变化特性，提出将第一次外迭代的雅可比矩阵逆作为预处理矩阵，并与稳定双共轭梯度法相结合，提高潮流计算的收敛速度。借助InterPSS电力系统仿真软件，对IEEE118、IEEE162、IEEE300和一个欧洲大陆真实电力系统进行仿真计算，验证了在处理大规模电网时，所提方法相对稀疏近似逆预处理具备更好的有效性。

关键词：潮流计算;预条件处理;雅可比矩阵逆预处理;稀疏近似逆预处理

中图分类号：TM7                                                    文献标识码：A

Fast Flow Calculation Method with Jacobian Matrix Inverse Preconditions

LIN Ya-jun？覮，CHEN Xue-jun，CHEN Yue

（School of Mechanical & Electrical Engineering，Putian University，Putian，Fujian 351100，China）

Abstract：The choice of preconditioning method is the key to improve convergence and quicken calculation speed，while using Bi-CGSTAB to solve the correction equation of lager scale power system. This paper raised a new precondition method by using the inversion of Jacobian matrix after analysis of the characteristics of Jacobian matrix preconditioning. Then Combine these preconditioning methods with Bi-CGSTAB algorithm. Compared to sparse approximate inverse，which is considered as the most effective way，the effectiveness of the proposed approaches is verified by using InterPSS Simulink Tool in certain lager scale power system.

Key words：power flow calculation;preconditioning;Jacobian matrix inverse preconditions;sparse approximate inverse

作为电力系统分析的基础，提高潮流计算速度是实现电力系统超实时控制的关键。在传统的牛顿拉夫逊潮流算法中，求解修正方程组耗时占达80%[1]。目前解线性方程组主要有直接法和迭代法兩种。直接法包括采用稀疏技术的高斯消元法和LU分解法，由于稀疏线性方程组用直接法求解是以对系数矩阵进行分解为基础的，在进行矩阵分解时中会引入填充元，削弱了稀疏的特征，对计算机的存储需求和计算量一般相当大，所以对于大型的稀疏矩阵应用迭代法更优。因此，在大规模电网潮流计算的研究领域，采用迭代法求解修正方程组已成为主流[2-3]。

然而雅可比矩阵随着电网规模变大会出现病态，在采用迭代法求解修正方程组时将难以收敛，使迭代法失去优势。于是对雅可比矩阵进行适当的预处理显得十分重要。目前常用的预处理方法有不完全分解法[4-5]，PQ分解法[6]，稀疏近似逆预处理[7]，正交方法预处理[8]。其中不完全分解法在填充量选择上存在一定困难;文献[9]对PQ分解法和不完全分解法做了对比，证明PQ分解法优于ILU分解法，然而PQ分解法在求 取预处理矩阵时比较繁琐;文献[7]验证了稀疏近似逆预处理效果优于PQ分解法;文献[8]论证了正交方法预处理相较于PQ分解法，具有较少的迭代运算次数;而稀疏近似逆预处理与正交方法预处理都存在不适用于超大规模电网的问题。

尝试直接取第一次外迭代的雅可比矩阵的逆作为预处理矩阵。在InterPSS平台进行仿真分析，以大规模电网为例，将该方法与Bi-CGSTAB方法结合，验证该方法相比稀疏近似逆预处理，计算时间更短，具有更好的收敛性。

1   预处理矩阵

在潮流计算过程中需求解修正方程组：

ΔPΔQ = -JΔθΔV/V         （1）

采用Bi-CGSTAB算法求解式（1）时，若J接近单位矩阵，收敛速度很快。然而当J的条件数大于102的时候，通常在用迭代法之前，需对系数矩阵进行预处理，提高收敛性。所谓预处理就是通过一个非奇异的预处理矩阵M使得MJ尽量接近单位矩阵，也就是使得J矩阵转化为另一个条件数低的矩阵。这时式（1）等价于

MΔPΔQ = -MJΔθΔV/V         （2）

经过预处理以后可使求解的收敛性能大大提高。

很容易理解，当M = J-1，则预处理后的系数矩阵 为单位矩阵，其条件数为1，理论上条件数会变成最小。此时预处理的效果最佳，但这其实就等价于直接法，在实际中是不可能的。然而，上述的理想化情况为寻求好的预处理方法提供了一个基本思路。

2    雅可比矩阵的几种预处理方法

2.1   稀疏近似逆预处理

基于稀疏近似逆的预处理方法是目前认为较为有效的雅可比矩阵预处理方法，能够有效改善迭代算法求解线性方程组的收敛性。

它的预处理矩阵时将雅可比矩阵按式（3）形式分裂：

对式（3）进行近似求逆，即得到预处理矩阵M：

2.2   雅可比矩阵逆预处理

考虑到在潮流初始值选得合理的情况下，雅可比矩阵在潮流程序整个迭代过程中不会大幅度变化。另一方面，雅可比矩阵的条件数随着牛顿法外迭代次数的增加逐渐减小[10]。通过InterPSS平台对大规模电网（IEEE300和欧洲大陆真实系统）进行潮流计算，发现采用牛顿-稳定双共轭梯度潮流计算法时，求解修正方程组的最大迭代次数都是在第一次外迭代时发生的。

于是考虑直接用第一次外迭代过程时的雅可比矩阵的逆作为预条件矩阵，即：

虽然对雅可比矩阵求逆的工作量比较大，但是可以抵消掉第一次外迭代时求解修正方程组的时间。在采用该预处理方法后，潮流计算的流程如图1所示。

3   算   例

为了验证本文提出的雅可比矩阵逆预处理方法的实际效果，本节基于InterPSS平台对不同规模电网进行测试。首先不采用任何预处理技术，直接测试IEEE118、IEEE162、IEEE300和欧洲大陆真实系统（UCTE_2000_WinterOffPeak，节点数目为1254，线路数目为1944）最大内迭代次数、潮流运算总耗时。计算过程中Bi-CGSTAB算法的迭代误差（内迭代）取10-10，最大迭代次数取5000;牛顿法的迭代误差（外迭代）取10-20，具体计算结果如表1所示。

采用稀疏近似逆预处理，测试以上四个系统在不同外迭代中基于稳定双共轭梯度求解修正方程组所需的最大内迭代次数，以及潮流计算总耗时，具体计算结果如表2所示。

可见对于小于等于300个节点的电网，该方法具有较好的预处理效果，然而随着电网规模的增大，稀疏近似逆预处理的最大迭代次数剧增，效果并不理想。表3为采用雅可比矩阵逆预处理的测试结果。

为更加清晰地对比两种预处理方法的效果，分别追踪了两种方法的最大迭代次数和潮流计算总时长，对比结果如图2和图3所示。

通过对比表2与表3可以看出对于规模小于等于300个节点的电网，本文提出的方案的加速性能没有基于稀疏近似逆预处理的好。这是因为尽管该方法有着很好的预处理性能，但是该方法需要对雅可比矩阵进行求逆。只有当电网规模达到一定程度，本文提出的预处理方法取得的预处理性能的优势才足以弥补求逆的耗时。所以该方法适用于电网规模超过300节点的电网。

4   结   论

对牛顿-拉夫逊法求解潮流方程中雅可比矩阵出现病态提出了新的预处理方法——雅可比矩阵逆预处理。数值结果表明，处理较大规模电网（300个节点以上电网）时，相对现有的预处理方法，大大降低了迭代次数，缩短潮流计算总耗时。

参考文献

[1]    ALVES A B，ASADA E B，MONTICELLI A.Critical evaluation of direct and iterative methods for solving a x=b systems in powerflow calculations and contingency analysis[J].IEEE Trans on Power Systems，1999，14（2）：702—708.

[2]    扈诗扬，汪芳宗.基于GaBP算法的快速潮流计算方法[J].计算技术与自动化，2016，35（4）：76—80.

[3]    胡博，周家启，刘洋.基于预条件处理GMRES的不精确牛顿法潮流计算[J].电工技术学报，2007，22（2）：98—104.

[4]    廖小兵，王文超，李奔.ILU预处理Newton-Krylov方法的潮流计算[J].计算技术与自动化，2015，34（4）：46—49.

[5]    蔡大用，陈玉荣.用不完全LU分解预处理的不精确潮流计算方法[J].电力系统自动化，2002，26（8）：11—14.

[6]    MORI H，TANAKOO H，KANNO J. A preconditioned fast decoupled powerflow method for contingency screening[J].IEEE Trans on Power Systems，1996，11（1）：357—363.

[7]    汪芳宗，何一帆，葉婧.基于稀疏近似逆预处理的牛顿-广义极小残余潮流计算方法[J].电网技术，2008，32（14）：50—53.

[8]    卓芳，高仕斌.优化牛顿-拉夫逊算法雅可比矩阵的正交预处理方法研究[J].电力系统保护与控制，2010，38（3）：20—23.

[9]    李晓华，厉吉文，张林鑫，等.潮流计算雅可比矩阵预处理方法的比较研究[J].继电器，2005，33（15）：33—36.

[10]  周硕，郭丽洁，吴柏生.Jacobi迭代预处理中的条件数与迭代次数的关系[J].东北电力学院学报，2003，23（6）：57—60.