程雅雯

(江苏省宜兴第一中学 214206)

一、不等式恒成立问题及其解题技巧

针对该种类型的数学问题，适宜采用分离变量或适当变形，或者采用主元变换法，又或者先进行构造函数，之后运用函数的单调性等性质来进行求解.如果涉及到最值问题，那么在求解中可以采取基本不等式来进行求解.

例1已知不等式2ex-nx+15>0在实数集R上恒成立，试求正整数n的最大值.

解析针对该道不等式恒成立问题，求解过程中可以直接采用构造函数f(x)的方法，令f(x)的最小值大于0，那么就可以解决该问题，又或者可以将该不等式进行适当变形，转化成两个形式比较简单的函数，之后基于这两个简单函数的图象性质，利用数形结合法来求解问题.

解法二(不等式变形+数形结合法)：根据题干信息，可以将原不等式转化下式：2ex+15>nx.

当x≤0时，原不等式恒成立.

假定h(x)=(2x0-2)ex0-15(x>0),那么可知h′(x)=2xex>0，所以函数h(x)在x>0上为单调增函数.又因为h(2)<0,h(3)>0，所以可知必然存在x0∈(2，3)使得h(x0)=0.由此可知，k=2ex0∈(2e2，2e3)，且2ex0>2e2>14.由此可知，nmax=14.

二、高次不等式问题及其解题技巧

高次不等式也是高考数学学科常考的一个知识点.我们高中生求解这类数学问题的时候往往会因为搞混区域而出错，且在判断特殊点或区域的时候存在不明确的问题，尤其是我们当中许多学生可能会在看到高次不等式这种复杂题型的时候就心生畏惧，不知道该如何下笔进行求解.针对该类数学题型，我们要正确认识并要学会熟练运用“穿根法”这种解题方法，这会提升我们解题的准确度与效率.在……