程雅雯

(江苏省宜兴第一中学 214206)

一、不等式恒成立问题及其解题技巧

针对该种类型的数学问题，适宜采用分离变量或适当变形，或者采用主元变换法，又或者先进行构造函数，之后运用函数的单调性等性质来进行求解.如果涉及到最值问题，那么在求解中可以采取基本不等式来进行求解.

例1已知不等式2ex-nx+15>0在实数集R上恒成立，试求正整数n的最大值.

解析针对该道不等式恒成立问题，求解过程中可以直接采用构造函数f(x)的方法，令f(x)的最小值大于0，那么就可以解决该问题，又或者可以将该不等式进行适当变形，转化成两个形式比较简单的函数，之后基于这两个简单函数的图象性质，利用数形结合法来求解问题.

解法二(不等式变形+数形结合法)：根据题干信息，可以将原不等式转化下式：2ex+15>nx.

当x≤0时，原不等式恒成立.

假定h(x)=(2x0-2)ex0-15(x>0),那么可知h′(x)=2xex>0，所以函数h(x)在x>0上为单调增函数.又因为h(2)<0,h(3)>0，所以可知必然存在x0∈(2，3)使得h(x0)=0.由此可知，k=2ex0∈(2e2，2e3)，且2ex0>2e2>14.由此可知，nmax=14.

二、高次不等式问题及其解题技巧

高次不等式也是高考数学学科常考的一个知识点.我们高中生求解这类数学问题的时候往往会因为搞混区域而出错，且在判断特殊点或区域的时候存在不明确的问题，尤其是我们当中许多学生可能会在看到高次不等式这种复杂题型的时候就心生畏惧，不知道该如何下笔进行求解.针对该类数学题型，我们要正确认识并要学会熟练运用“穿根法”这种解题方法，这会提升我们解题的准确度与效率.在求解解集后，还要注意仔细地判定解集的临界点，看是否将其纳入到解集范畴.

例2已知不等式(x+3)(x-2)(x-4)≤0，试求其解集.

解析该道高次不等式问题是一种常见的问题，不需要进行因式分解即可判断相应函数的三个根，即-3，2和4.然后我们可以按照”穿根法“的基本应用方法.在数轴上面分别标出x=4，x=2和x=-3三个零点的坐标，这样就可以将数轴划分成4个区间，然后从最右侧(x=4)开始，从右上方经过零点后向左下方穿过，之后依次穿过x=2和x=-3这两个零点，这样就构成了图1所示的一条函数曲线图.然后根据题干要求，只需要选择满足图象位于数轴之下图象即可，但是需要注意的是，该道不等式问题中给出的是“≤”，所以求解过程中需要将相应的边界值纳入到解集当中，即最终这道题的正确答案为：(-，-3]∪[2，4].

三、结合线性规划的不等式问题及其解题技巧

对于这类数学问题，一般都是求解目标的最值问题，但是却涉及到定义域和面积求解等相关数学知识，实际求解中需要充分了解不等式和线性规划等方面的相关数学知识，明确这些知识之间的联系性，这样最终才能准确地求解相关数学问题.归纳起来，在求解该类不等式问题的时候，如果遇到求解极值的问题，那么需要先绘制出不等式组的可行域，将其转化成几何知识后，再将不等式相应地转化成等式问题来进行求解.又或者可以将不等式转化为函数，并为其设定一部分参考值，基于函数视角来观察不同参考值变化下函数图象对应的变化情况，最终明确影响函数变化的相关量，并求解该问题.

A.-1 B.-1/2 C.1/2 D.1

解析该道不等式问题的难点和易错点在于确定三条给定直线所构成的区域以及区域面积的计算.针对该道问题，可以先根据不等式组来绘制出三条直线，绘制出图2所示它们围成三角形的示意图，之后可以将上述给定的4个选项分别代入后即可直观地确定这道题的正确答案为B.

总之，科学、合理的解题技巧往往会使解题事倍功半，是提升我们求解不等式问题等数学问题准确率和效率的有效手段.因此，我们高中生在平时的学习中要注意多归纳和总结一些常用的解题方法，并要强化专项解题技巧的训练，确保不断提升自身的数学问题求解能力.