把握“类比思想”，巧学“一元一次不等式”

2019-06-27◎陈俊

初中生世界 2019年21期

关键词：类比思想移项咖啡色

◎陈俊

第11章一元一次不等式

领衔人：丁建生

组稿团队：南京师范大学第二附属初级中学

类比，是一种重要的思想方法，在初中数学学习中具有重要的作用。

如：我们在学习“一元一次不等式”时，就可以类比“一元一次方程”来学习。它们之间有区别，更有许多相似之处，有着紧密的联系。下面，就“一元一次不等式”和“一元一次方程”从不同的角度作一些辨析，以帮助同学们更好地掌握“一元一次不等式”。

一、从概念上看

二者化简后，都只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数都为1，未知数的系数都不为零，这是它们的相同之处。不同之处在于，一元一次方程表示的是一种相等关系，一元一次不等式则表示的是一种不等关系。如：2x+3=5是一元一次方程，2x+3＞5则是一元一次不等式。

二、从解法上看

解一元一次不等式与解一元一次方程步骤完全相同，一般分为五个步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）化系数为1。我们要特别注意步骤（1）和（5），解方程时，依据的是：等式的两边同时乘（或除以）同一个不为零的数，所得的结果仍是等式。解不等式时，则依据：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。如：

解：去分母，得-3x+1=-2，

移项，得-3x=-2-1，

合并同类项，得-3x=-3，

化系数为1，得x=1。

解：去分母，得-3x+1≥-2，

移项，得-3x≥-2-1，

合并同类项，得-3x≥-3，

化系数为1，得x≤1。

三、从解（集）上看

一元一次不等式和一元一次方程的解（集）的共同点是：把未知数的值代入不等式或方程后，都能使不等式或方程成立；区别是：解的个数不同，一元一次方程的解一般是唯一的，对应的是数轴上的一个点，而一元一次不等式一般有无数多个解，对应的是数轴上的一条射线。如：x=1对应的是一个点，而x≤1对应的是一条射线。

四、从应用上看

1.由“解集”到“解”。

2.由“解”到“解集”。

解方程3x+4=2x-2时，易知x=-6；解不等式3x+4＞2x-2时，解集为x＞-6。显而易见，将方程改为“相应”的不等式时，不等式的解集和方程的解中，都有相同的数字-6，因此，只要将“=”改为不等式的符号“＞”即可。但有时要考虑到符号问题，如：方程3x+4=4x-2的解为x=6，而不等式3x+4＞4x-2的解集为x＜6。虽然不等式中出现的是“＞”，但是解集中出现的是“＜”。因此，我们要关注右边的一次项移到左边时，和左边的一次项合并以后的符号，若合并后为“+”，则不等号不变；若合并后为“-”，则不等号改变方向。

3.解决实际问题的思路。

在用一元一次方程和用一元一次不等式解决实际问题时，思路也是如出一辙。用一元一次方程解决问题时，主要有如下步骤：（1）审：分析已知、未知量，找出等量关系；（2）设：设适当的未知数；（3）列：列方程；（4）解：解方程；（5）验：验算解是否正确以及是否满足实际意义；（6）答：规范作答，写出正确答案。而用一元一次不等式解决实际问题时的思路，只需将上述步骤（1）中的“找出等量关系”改为“找出不等关系”，其余都一样。

例质量为45g的某种三色冰激凌中，咖啡色、红色和白色配料的质量比为1∶2∶6，这种三色冰激凌中咖啡色、红色和白色配料分别是多少？

【解析】本题等量关系为：咖啡色配料质量+红色配料质量+白色配料质量=45g。若设咖啡色配料质量为xg，则红色和白色配料分别为2xg和6xg。

由题意，得x+2x+6x=45。

解之，得x=5。

∴2x=10，6x=30。

答：这种三色冰激凌中咖啡色、红色、白色配料的质量分别是5g、10g和30g。

【变式】某种三色冰激凌中，咖啡色、红色和白色配料的质量比为1∶2∶6，现厂家规定这种三色冰激凌质量不得超过45g，则这种冰激凌中咖啡色配料的质量至多为多少？

【解析】本题不等关系为：咖啡色配料质量+红色配料质量+白色配料质量≤45g。若设咖啡色配料质量为xg，则红色和白色配料分别为2xg和6xg。

由题意，得x+2x+6x≤45。

解之，得x≤5。

答：这种三色冰激凌中咖啡色配料的质量至多为5g。