☉甘肃省泾川县第二中学 吴麦科

在解决数学问题时，有时为了解题的需要，可以先将问题的一般情形转化为特殊情形，从而便于找到解决问题的一般思路，这就是特例法.在几何中，从分析研究一些简单的特殊图形，或图形上的特殊点，或图形的特殊位置等入手，探索几何命题解题途径的方法称为特殊图形法.特殊图形法是特例法的一种，在解题中不仅有着独特的作用，而且对培养学生的探索能力，激发学生的创新思维也至关重要.下面用例子说明应用特殊图形法探索解题途径的几种策略.

一、一般图形特殊化

例1 如图1所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，EF⊥AD于点F，AD=4，EF=5，则梯形ABCD的面积是（ ）

A.40 B.30 C.20 D.10

图1

图2

本题若按常规解法，可延长DE交AB的延长线于点M，并连接AE（如图2），将梯形ABCD的面积转化为△AMD的面积，而△AMD的面积等于△AED面积的2倍，且△AED的面积容易求出，从而顺利求出梯形ABCD的面积.

当然也可过点E作MN∥AD，交DC的延长线于点M，交AB于点N（如图3），将梯形ABCD的面积转化为平行四边形ANMD的面积，而平行四边形ANMD的面积容易求出（一边AD及该边上的高EF已知），从而顺利求出梯形ABCD的面积.

图3

图4

注意到“EF⊥AD，E是BC的中点”这个条件，因此可取梯形ABCD为直角梯形的情形（如图4），此时EF是梯形ABCD的中位线，AD是梯形ABCD的高，根据“梯形的面积等于中位线与高的乘积”可以快速求出梯形ABCD的面积是20.显然这样方便快捷.

答案为C.

二、点的位置特殊化

例2如图5所示，正方形ABCD的边长为2，在其中一条对角线BD上取一点E（不与点B和点D重合），使BE=2.连接CE，再在CE上取一点O（不与点C和点E重合），过点O分别作BC、BD的垂线段OM、ON，则OM+ON=（ ）.

图5

图6

本题若按常规方法，需要证明OM+ON等于等腰三角形BEC一腰上的高，这可运用面积法.如图6，接接BO，过点C作CP⊥BD于点P，则则又BC=BE=2，则OM+ON=CP.这样求解比较麻烦.

不妨取点O与点C重合时的情况进行分析.如图7所示，过点O作OQ⊥BD，垂足为Q，则OM+ON=OQ，使用三角形面积公式可求得显然这样简化了推算过程.

答案为A.

三、图形位置特殊化

例3 如图8所示为三个边长为2的正方形，其中O1既是第一个正方形的中心，又是第二个正方形的一个顶点，O2既是第二个正方形的中心，又是第三个正方形的一个顶点.那么阴影部分的面积是______.

图7

图8

解答本题首先要弄清两个正方形重叠部分的面积与其中一个正方形面积的关系.若按常规方法，需要作辅助线证明两个三角形全等.如图9，表示其中相邻的两个正方形ABCD和A1B1C1D1.连接A1B、A1C（如图10），然后证明△EA1B △FA1C.或者过点A1分别作AB、BC的垂线段A1E、A1F（如图11），然后证明△EA1M △FA1N.这两种方法都可以得出重叠部分的面积等于其中一个正方形面积的不过比较麻烦.

图9

图10

图11

图12

若将其中一个正方形旋转至如图12的位置，此时从图形可以直观得到结论.这样不难求出阴影部分的面积大大提高了解题效率.

例4如图13，等边△DEF的顶点E在等边△ABC的内部，且边EF与BC相交于点O.如果点O恰为BC和EF的中点，连接AD、BE，则AD∶BE的值为（ ）.

本题若按常规方法，需要连接DO、AO，如图14所示，通过证明△AOD △BOE求解，难度较大.

若取BC⊥EF，由△DEF为等边三角形，O为EF的中点，得DO⊥EF.则点D必然在BC上.再取点D与C重合，如图15.在Rt△BOE中设OE=1，则则.则AD∶

图13

图14

答案为A.

本题先取BC⊥EF，这是图形位置特殊化，而取点D与C重合，属于点的位置特殊化.因此本例兼有图形位置特殊化和点的位置特殊化.

图15

不难看出，以上所举例子全部是选择题或填空题，因为选择题或填空题不需要解答过程，只注重问题结果，因此“特殊图形法”一般来说是对选择题或填空题而言适合采取的一种解题方法.但是对于那些需要求解过程的解答题来说，解题过程不能采用“特殊图形法”，它只能作为一种找到解决问题思路的方法，只具有借鉴作用.W