马德青，胡劲松

(青岛大学商学院，山东 青岛 266071)

1 引言

在环境立法和利润驱动的双重影响下，废旧品的回收模式选择以及供应链成员的策略制定备受运营管理学者的关注。早期相关研究主要涉及获取成员静态均衡策略。随着行为科学和实验科学的发展，行为运营管理学者开始关注供应链成员的公平行为及其对策略的影响问题，但此方面研究仍属于静态均衡策略研究范畴。近来，考虑策略动态调整过程的动态策略分析引起学界广泛关注，但相关研究未考虑成员公平行为动机。因此，针对动态公平均衡策略尚存在巨大的研究空间。下面对公平行为、静态公平均衡策略以及动态均衡策略的相关研究进行回顾，以凝练出本文的科学问题。

大量行为科学和行为实验发现：人们普遍存在公平行为倾向。其中，最后通牒博弈[1-2]、独裁者博弈[3-6]以及公共品博弈[7]等行为博弈实验证实了人们存在公平行为倾向。Kahnema等[8]实证研究了市场交易过程中顾客对价格、员工对薪水普遍存在公平关切心理，进而对厂商利润产生影响。Katok和Pavlov[9]也通过实证研究证明了公平关切行为能较好地解释零售商的定价策略。目前，对公平行为的界定，存在不同的声音。如Fehr和Schmidt[10]考虑个体间绝对收入差异的“非对称式内疚/嫉妒”模型，Bolton和Ockenfels[11]考虑个体间收入相对差异的“对称式内疚/嫉妒”模型，以及我国学者杜少甫等[12]在分析供应链成员公平行为时考虑交易参考点的“嫉妒/自豪”模型。Kahneman等[8]基于双边赋权核心概念，给出了概括公平内涵的三要素：交易参考点、交易结果和交易条件。概括而言，在交易条件不变的条件下，“嫉妒/自豪”模型反映了交易参考点和交易结果对成员公平感知的影响[12]。为此，本文聚焦“嫉妒/自豪”公平模式，将其拓展至动态过程。

近年来，关于公平行为的供应链静态均衡策略研究备受关注。Cui等[13]较早将纳入供应链成员的公平关切行为，开展了供应链静态公平策略的研究。杜少甫等[12，14]研究了零售商绝对公平行为和相对公平行为对供应链绩效的影响。吴燕等[15]研究了零售商具有相对公平以及制造商和零售商同时具有相对公平行为的闭环供应链定价机制，发现公平行为是零售商和制造商获取利润分配的一种手段。张克勇等[16]着重研究了零售商绝对公平行为的闭环供应链绩效的影响，发现零售商的公平行为会影响闭环供应链系统收益的分配比例。张克勇等[17-18]针对信息对称与不对称情形，研究了零售商公平行为对闭环供应链绩效的影响，发现制造商考虑零售商的公平行为对双方均是有利的，并能有效提升整个闭环供应链的渠道收益。奚佳和石岿然[19]研究了零售商绝对公平行为对渠道利润分配以及废旧品回收率的影响，发现零售商绝对公平行为只会提高其自身利润，对回收率不会产生影响。高鹏和聂佳佳[20]发现供应链成员公平行为下收益费用共享协调机制只能实现效用的帕累托改进，无法实现完全协调。唐飞和许茂增[21]研究了供应链成员公平行为的双渠道闭环供应链的协调问题，发现利润共享契约或两部定价契约的能有效协调供应链，且能实现制造商和零售商的双赢。

近期，闭环供应链成员的动态均衡策略研究成为国内外又一研究重点。但主要集中于主体自利行为动机和确定环境下的开环策略研究。其中，黄宗盛等[22]分别探讨了制造商回收和零售商回收模式下的开环动态均衡策略。黄宗盛等[23]进一步研究了第三方回收模式的闭环供应链集中决策和分散决策机制下的开环动态均衡策略。黄宗盛等[24]研究了一主导制造商和两个竞争零售商组成的闭环供应链网络的以及开环动态回收策略。孙嘉轶等[25]针对多制造商(再制造商)及多零售商(回收商)的闭环供应链网络，研究了闭环供应链网络的Nash开环动态均衡策略。Giovanni等[26]考虑成本减少和需求扩张因素，研究了制造商、零售商均实施回收投入的闭环供应链激励机制设计问题。需要指出的是，上述研究均未考虑供应链成员的公平动机，而且均属确定环境下的开环动态均衡策略。本质上，供应链系统受到大量不可控因素的影响[27-28]，其系统状态演进过程是无法预测的。因此，针对环境的不确定性，考虑供应链成员的公平动机，获取供应链成员的反馈动态均衡策略是本文的主要任务。

本文安排如下：首先构建闭合供应链系统的随机微分博弈模型，然后获取成员的动态反馈均衡策略，并揭示动态反馈均衡策略下废旧品回收率的动态演化特征，最后，结合数值分析零售商公平行为对供应链成员动态均衡策略以及供应链系统回收率的影响。

2 随机微分博弈模型

本文研究一制造商(再制造商)和一具绝对公平关切零售商(回收商)组成的动态闭环供应链系统。其中，制造商是渠道领导者，其负责新品和再制品的加工制造及批发，其目标是实现计划期内的利润最大化。零售商是具有公平偏好的渠道跟随者，其负责新品和再制品的销售以及废旧品的回收，其目标是实现计划期内的公平效用最大化。为了简化分析，假设制造商的废旧品转化率为1，且新品与再制品同质，计划期为无限期。为构建模型，本文所用符号及含义见表1。

表1 符号及含义

续表1 符号及含义

2.1 回收的动力学模型

(1)

2.2 制造商目标泛函

制造商以利润最大化为目标。其收益来源于新产品和再制品的批发收入，其成本来源于新品和再制品的生产成本以及废旧品的回收成本。考虑到贴现率因子，制造商的利润目标泛函为:

(2)

2.3 零售商目标

本文假设零售商为绝对公平关注者，其目标是实现公平效用最大化。为了构建零售商绝对公平效用泛函，首先建立其利润泛函。零售商的收益为新品和再制品销售收入加上转售废旧品的收入。零售商的成本为新品和再制品的采购成本加回收投入成本。考虑到回收投入成本存在边际递增效应，本文假设回收投入成本为k[A(t)]2/2。因此，零售商时刻t时的利润为

(3)

借鉴杜少甫等[12]的绝对公平静态思想，假设时刻t零售商的“嫉妒/自豪”效用UR(t)=πR(t)-λ(πM(t)-πR(t))，其中，λ≥0为零售商绝对公平关切系数。该模型刻画了零售商以制造商利润为公平参考点的思想。体现了：当πM(t)>πR(t)时，零售商的嫉妒心理带来的效用损失，以及当πM(t)≤πR(t)时，零售商的自豪心理带来的效用提升。

利用式(3)，零售商的公平目标泛函为:

(4)

2.4 随机微分博弈模型

由回收过程的动力学模型(1)知，闭环供应链系统的废品回收过程取决于制造商的新品/再制品批发价格控制策略，零售商的销售策略和回收努力投入策略，以及环境的不可控因素。而由制造商利润泛函(2)和零售商公平效用泛函(4)知，制造商利润和零售商利润取决于废旧品的回收率。因此，在制造商是渠道领导者和零售商是渠道跟随者的权力结构下，闭环供应链系统均衡策略的Stackelberg随机微分博弈模型概括如下。为使模型简洁起见，模型中省略了时间变量。

(5)

3 动态公平均衡Stackelberg策略

为了获取闭环供应链系统的动态公平均衡Stackelberg策略，首先利用逆向归纳法获取零售商的销售价格和回收努力投入反应策略，然后，基于零售商的反应策略获取制造商的批发价格最优策略。

命题1零售商的销售价格和回收努力投入反应策略为：

证明：给定制造商的批发价格策略w(t)，利用连续动态规划理论，可得零售商的销售价格策略p(t)和回收努力投入策略A(t)策略应满足的HJB(哈密尔顿-雅克比-贝尔曼)偏微分方程。

(6)

求解式(6)右端的最优化，得到零售商的产品销售价格和回收努力投入反应策略：

(7)

命题2制造商的最优批发价格策略为：

w*=

证明：为了获得制造商的最优批发价格策略，将式(7)代入制造商利润泛函式(2)。利用连续动态规划理论，制造商的最优批发价格策略应满足的HJB方程偏微分方程为：

(8)

求解式(8)右端的最优化，得到制造商最优批发价格策略：

w*=

(9)

命题3闭环供应链系统的动态公平均衡Stackelberg策略为：

证明：将式(9)代入零售商反应策略(7)，得零售商的销售价格策略p*和回收努力投入策略A*。为完整起见，命题3亦列出了制造商的最优批发价格策略w*。

利用命题3获得闭环供应链系统的动态公平均衡Stackelberg策略，必须确定命题3中制造商和零售商的最优值函数的具体形式。事实上，这将面临偏微分方程求解问题。为此下面给出最优值函数的具体求解过程。

命题4制造商和零售商的最优值函数为

其中，

证明：为了确定制造商和零售商的最优值函数VM*(τ)和VR*(τ)。我们将命题3中的动态公平均衡策略带入式(8)和(6)，得制造商和零售商最优值函数应满足的偏微分方程组

(10)

(11)

为了获得式(10)和(11)偏微分方程的解VM(τ)和VR(τ)，尝试如下待定系数的制造商和零售商最优值函数形式

(12)

其一、二阶偏导数分别为

(13)

将式(12)和(13)代入式(10)和(11)，得恒等关系:

r(f1τ2+f2τ+f3)-σ2f1τ

(14)

r(g1τ2+g2τ+g3)-σ2g1τ

(15)

利用恒等关系，得待定系数应满足的非线性方程组

(16)

(17)

3.2 回收率的动态演化特征

由于废旧品回收率受随机因素的影响，那么废旧品回收率随机演化特征能否掌握，以及具有什么样的演化特征。本节将讨论回收率的期望和方差、回收率期望和方差的稳定性。

命题5 1)随机回收率的期望，以及t→时回收率的期望

其中，M=2ρ2g1/(k(1+λ))-δ，N=(ρ2g2)/(k(1+λ))。

2)随机回收率的方差，以及t→时回收率的方差

求解该微分方程，得

(18)

当M<0时，得

(19)

2)利用伊藤引理，得废旧产品回收率平方的变化过程：

(20)

上式两边积分，并利用边界条件，得：

(21)

两边取期望，并利用维纳过程的零期望性质，得

(22)

将式(18)代入式(22)，得：

(23)

然后，利用关系D(τ)=E(τ2)-[E(τ)]2，得废旧产品回收率的方差。

当M<0时，由式(23)，得：

(24)

4 数值算例

本节结合一算例，分析闭环供应链系统的动态均衡策略，并进行零售商公平关切系数的比较静态分析。系统参数如下：初始回收率τ0=0，回收努力程度系数ρ=2，回收率衰减系数δ=1，回收波动率系数σ=0.1，回收设施投入成本系数k=230，制造商新产品单位生产成本cm=6，再制品的单位生产成本节省成本Δ=3，制造商单位废品回收成本b=1，需求函数为D(p(t))=50-0.8p(t)，市场利率r=0.15。为了进行零售商公平关切系数对供应链成员策略及绩效的比较静态分析，表2和3给出了针对零售商公平关切系数不同取值时的制造商和零售商相应最优值函数和动态均衡策略。同时图1给出了系统回收率演化的一样本实现。

表2 公平关切系数对最优值函数的影响

表3 公平关切系数对动态均衡策略的影响

图1 公平关切程度对回收率的影响

表2结果说明零售商的公平行为对最优值函数的影响，同时也反映了最优值函数与系统回收率之间的关系。计算结果表明：从零售商公平关切系数对制造商和零售商最优值函数影响来看，随零售商公平关切系数的程度增加，制造商最优值函数将减少，而零售商最优值函数将增大。制造商和零售商的最优值函数在回收率τ∈[0,1]区间上与回收率正相关。这说明产品回收对制造商和零售商均有利。

表3说明零售商的公平行为对供应链成员策略的影响。计算结果表明：零售商公平关切程度严重影响制造商的均衡批发价格策略，相反对其自身的产品销售价格无影响，对其自身的回收投入努力程度亦影响甚微。另外，因为再制造节约了生产成本，制造商和零售商的价格策略与回收率负相关。

依据系统所设参数进行的系统回收率演化过程，见图1，结果表明：零售商公平关切程度与回收率负相关。即零售商的公平关切程度越高，系统回收率越低。

5 结语

本文研究了零售商的公平行为对闭环供应链系统的成员动态均衡策略的影响。利用伊藤过程，刻画了供应链系统的废旧品回收率的随机演化过程特征。根据制造商利润的构成，构建了追求利润最大化的制造商的利润目标泛函。基于零售商的“嫉妒/自豪”型公平行为，构建了追求公平效用最大化的零售商的效用目标泛函。针对制造商为领导者、零售商为跟随者的闭环供应链系统，建立了其随机微分博弈stackelberg模型。

利用随机微分博弈理论，推导了零售商的销售价格和回收努力投入反应策略。进而获得了制造商的批发价格策略。利用零售商的反应函数和制造商的策略，构建了制造商和零售商最优值函数应满足的HJB偏微分方程。通过求解偏微分方程组，获得了零售商和制造商最优值函数，进而获得了零售商的动态销售价格和回收投入努力均衡策略，以及制造商的动态批发价格策略。为了揭示随机回收率的演化特征，分析了随机回收率的期望与方差特征，以及回收率期望与方差的稳定性。结合算例，进行了零售商公平关切程度对制造商和零售商动态均衡策略及绩效的比较静态分析。结果表明：随着零售商公平关切程度提高，制造商将降低其均衡批发价格，进而其最优值函数将减少。与制造商不同，零售商的公平关切程度将增加其最优值函数。另外，零售商公平关切程度越高，系统回收率越低。