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以“不变”应“万变”

2019-05-05江苏省苏州市阳山实验初级中学九许辰宇

初中生世界 2019年15期
关键词:过点表达式最值

江苏省苏州市阳山实验初级中学九(9)班 许辰宇

【问题背景】已知y关于x的函数表达式y=2kx-3k+2,观察这个函数表达式,你有什么发现?

面对这个问题,一开始或许你毫无头绪,仔细思考后,可能你会有所发现,甚至发现独特之处。

【思考探索】不难发现,这是一个含参数(k)的一次函数解析式。为了研究它的特殊性,我们不妨取一些k值(如表1),并画出它的图像(如图1)。

表1

图1

观察图像,我们可以得知,一次函数y=2kx-3k+2的图像总经过点(,2)。这是什么原因呢?于是,我对原来的表达式进行恒等变形,看看能否找到问题的答案。

由y=2kx-3k+2,可得y=k(2x-3)+2,即y-2=k(2x-3)。

既然原函数表达式y=2kx-3k+2是成立的,那么变形后的表达式也是成立的,而我们知道,k作为一个系数是可以取不为0的任何实数的,要使原式成立,需满足(y-2)和(2x-3)的值分别为0。这就是为什么函数图像总经过点(,2)的本质原因。

结论应用如图2,在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点,则弦BC的长的最小值是多少?

本题是一道有关线段最值的问题。在圆内求线段的最值,需确定线段的两个端点的位置。从这个角度分析,即使我们知道k值,也很难确定点B与点C在平面直角坐标系中的位置。因此,我们要从函数表达式入手,将其进行适当的变形,发现函数图像总过点(3,4),此时可求得圆心O到点(3,4)的距离为5,问题就转化成求过⊙O内一点的最短弦问题。运用垂径定理和勾股定理,求解步骤如下:

解:∵y=kx-3k+4,

∴k(x-3)=y-4,

∵k有无数个取值,由x-3=0、y-4=0,

可得x=3,y=4,

∴直线一定过点D(3,4)。

如图3,根据勾股定理,可求得OD=5。

图3

∵最短的弦BC是过点D且与⊙O垂径垂直的弦,∴连接OC,OC=OA=13,OD=5,在Rt△COD中,可求得CD=12。

∵OD⊥BC,

∴BC=2CD=24。

【解题感悟】在求解有关含参数的函数表达式的问题时,往往需要在变化的参数中找到那个“不变”的点(或量),再运用这些不变的量去破解复杂多变的问题,此所谓以“不变”应“万变”。

教师点评

此文“结论应用”中呈现的题目来源于某次调研试卷,是一道一次函数与圆相结合的综合题,所给一次函数解析式为“含参型”解析式。在讲评此题时,许辰宇同学展示了自己的解法,从“数式”的视角做了详细的分析。对于该题,一部分同学理解并掌握,但仍然有部分同学不太理解,尤其是怎么得到“定点”的。课后他将此题整理成文,从“表格”“图像”“数式”的全方位视角作了精彩分析,让同学们对此类“含参型”一次函数过“定点”的本质有了更深刻的认识。这篇文章从问题提出、问题分析、问题解决和问题反思4个环节展开,结构优美,言之有物,思考深刻,值得借鉴。

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