陈婉禧 曾靖博 张峻铭 邓晓敏

摘   要：基于课程标准、教材、学生三者的分析，可知人教版小学数学三年级下册“位置与方向（一）”内容反映了新课程改革背景下小学数学的特点。本文以位置与方向（一）内容为例，分析学生普遍存在的四种错误类型：经验性错误、概念性错误、合理性错误与关系间的混淆，进而探讨错误资源的利用与策略研究。

关键词：小学数学;错误资源;教学策略

作者简介：陈婉禧、曾靖博、张峻铭、邓晓敏，华南师范大学教育科学学院。（广东  广州  510000）

中图分类号：G623.5      文献标识码：A      文章编号：1671-0568（2019）07-0075-04

现代错误观将认知错误和行为错误区别对待，更倾向于将学生的错误视为一种教育资源，从学生的错误中寻找教育契机。因此，在小学数学的教学中，分析错误资源对教师的教和学生的学都具有重要的现实意义。对错误资源进行分析，有利于师生构建正确的错误观，用积极的态度对待错误的产生、分析与利用;有利于教师因材施教，针对不同层次的学生与不同类型的错误开展个性化教学;有利于学生发掘数学学习中的弱点与盲点，完善其知识体系的构建。本文以“位置与方向（一）”这一典型课目主题为例，对小学数学错误资源进行分析，为教师的教学提供一些建议。

一、“位置与方向（一）”的典型性

“位置与方向（一）”选自新人教版小学数学三年级下册第1单元，通过分析，教师可知本科目主题从课程标准要求、教材的编排、学生的学习阶段三个方面均反映了新课程改革背景下小学数学典型性的特点。

1. 课程标准要求具有典型性。“位置与方向（一）”这一课目主题属于《义务教育小学数学课程标准（2011年版）》（以下简称为“课标”）第一学段的“图形与几何”领域中的“图形与位置”板块。从课程内容上和思维能力上分析，新课标对该主题的要求都体现了课程改革背景下小学数学的特点。

从课程内容的要求上看，“位置与方向（一）”的内容是第一学段中“图形与位置”所有知识的凝练与升华：在第一学段，学生应学习两种确定物体位置的方法，一种是用“上、下、左、右、前、后”描述物体的位置;另一种是用“东、南、西、北”描述物体的位置。前者对应的是人教版小学数学一年级上册的内容，学生需基于自身位置，同时选取合适的参照物的位置进行物体方位的判断;后者对应的则是本课目主题的内容，学生需基于之前学习的内容，学习如何只需选定参照物即可进行物体的方位描述。

从思维能力的要求上看，“位置与方向（一）”的“数学思考”目标呼应课标注重发展学生的空间观念这一要求：空间观念的培养需基于表象的建立，而表象以现实生活为基点。在这一课目主题的学习中，学生将通过对生活情境的深入探究，基于具体实物形成一定的方向感后，脱离工具进行方位的描述，为第二学段继续学习确定位置打下基础。

2. 教材的编排具有典型性。无论从宏观角度还是微观角度，“位置与方向（一）”这一课目主题的教材编排都体现了新课标背景下小学数学的特点。

从宏观的角度，关于“位置与方向”的内容呈现很好地体现教材“螺旋式上升”的知识呈现特点：学生在学习本课目主题前，已在一年级上学期的“位置”中认识上、下、前、后;而在学习后，学生会在六年级上学期的“位置与方向（二）”中学习根据方向和距离表示位置，并在以后进一步学习与该主题相关的知识。学生在学习过程中以抽象思想与模型思想为纽带，充分运用知识正迁移规律，沟通了知识的内在联系，从而形成一个较为完整的知识结构。

从微观的角度，“位置与方向（一）”的教材编排体现了课标中“课程内容的选择要贴近学生实际”的基本理念：首先通過天安门广场的实景鸟瞰图激发学生的学习兴趣，之后通过例题引导学生从情境中学习新知，最后再通过练习题让学生应用方位的知识解决生活中的实际问题。不仅如此，教材还利用穿插在其中的“你知道吗”与“生活中的数学”体现这一理念，这种编排不仅利于学生理解数学知识，还利于学生形成数学能力。

3. 学生的学习阶段具有典型性。学生在学习“位置与方向（一）”时正处于三年级这一学习阶段，根据学情分析，无论是从学生认知方面还是从学生心理

方面，三年级阶段都具有典型性。从学生认知方面的

角度，三年级是学生学习的过渡时期，是小学阶段关

键性的一年。该阶段学生学习特点主要有：第一，学习内容难度加大，本课要求学生学会辨认八个方向，并认识简单的路线图。这说明三年级学生在学习中需要付出更多的努力和踏实勤奋的学习态度。第二，学生学会运用一定的抽象思维，但仍以形象思维为主。第三，学生虽已能从事需要一定意志支配的工作，但意志还很薄弱。第四，学生想象能力由模仿性和再现性向创造性的想象过渡。

从学生心理方面的角度，该阶段学生个性特点主要有：第一，学生渐渐学会道德原则的评价标准，但道德认识水平仍较低，易受到外界的影响。第二，此时学生会接受他人的评价并发现自身的价值从而形成自信心。第三，学生集体意识有所发展，喜欢与伙伴共同游戏、学习。第四，学生情绪容易发生变化，且变化极大和外显性强。这说明三年级同时也是学生个性发展的关键时期，特别在自信心和控制个人情绪两个方面。

二、错误资源的分类及示例

学生的错误资源种类繁多，若无明确的分类，教师将不能很好地利用这些错误资源。经过研究，教师可将小学数学错误资源分为经验性错误、概念性错误、合理性错误和关系间混淆共四类。下面将以“位置与方向（一）”中的例题为例对这些错误资源类型进行阐述。

1. 经验性错误。学生的生活经验是指学生在家庭生活、社区生活、以及个人选择的休闲生活中的自主、自然、日常活动的结果，而经验性错误是指由于上述结果的局限导致有关的经验知识体系中出现漏洞。根据研究调查分析，我们会发现，学生自身对抽象生活经验的不理解，以及教师课堂教学时对生活经验的忽略会导致经验性错误的产生。具体而言，一是学生对生活中抽象的生活常识没有理解却囫囵吞枣地进行记忆，二是教师在教学过程中往往只关注学生学习了哪些知识，而忽略学生已有的生活经验进行教学，以至于课堂教学出现了“脱离生活”的低效现象。

【例1】填空题。

早晨当你面对太阳，你的后面是（  ）面，你的右面是（  ）面，你的左面是（  ）面。

错误解答：

如在图3所示的例1，该生不清楚“太阳从东边升起，西边落下”等重要的自然现象，只是机械地把习得的“上北、下南、左西、右东”填入空格中。产生这种经验性错误，不仅与该生的生活经验有关，还与教师未能准确定位学生已有的生活经验水平有关。

2. 概念性错误。一般而言，我们可从两个方面习得数学概念：一是直接从客观事物的数量关系和空间形式反映而得;二是在抽象的数学理论基础上经过多级抽象所获。而学生在学习概念性知识时，便会在这两个方面产生错误。具体而言，学生因先前累积经验而形成了与课目知识有偏差的记忆与思维定式，在遇到类似情境时，容易想当然地将新问题按旧问题的方式解决。与此同时，教师在课堂上没有对新知识的讲解和渗透模糊不清也会让学生产生概念性错误。

如在图4所示的例2，该生的作答为“上、下、左、右”这类简单的平面关系，并没有填入题目要求的“方位”。产生这种概念性的错误，不仅与该生这种具有偏差的思维定式相关，可能还与教师在教学时未向学生强调方位与普通的平面关系的区别与联系有关。

3. 合理性错误。小学数学问题解决过程中学生的合理错误指学生由于知识缺陷、已有的错误经验、思维惯性或问题解决能力欠缺等原因而出现的错误。根据调查分析，我们发现学生知识迁移能力的薄弱，以及教师缺少对易错点的澄清会导致合理性错误的产生。具体而言，一是学生由于自身发展水平的局限，导致知识迁移能力薄弱，无法在新旧知识之间建立良好的联系，从而出现了合理性错误;二是教师在课堂教学中，缺少向学生强调题目和知识点内蕴的数学思想，未利用学生容易出现的这类错误进行反面教学，从而出现了合理性错误。

【例3】完成下面的方位示意图。

错误解答：

如在图5所示的例3，该生因为自己家门口的路牌朝着北边的马路，指示着左边是东，右边是西，想当然地认为“左东右西”，而不是教师在课堂上告诉学生的“左西右东”，一旦把东和西的方向判断错了，其他的方位也随之会判断错误。产生上述错误，不仅与该生这种具有偏差的思维惯性相关，还与教师在教学时未向学生渗透“位置是相对的”的数学思想有关。

4. 关系间混淆。关系间的问题是小学数学中的难点之一，关系间混淆主要是指学生不能正确寻找或判断两者或以上之间的主次关系，导致公式、运算符号错用等。根据研究调查分析，我们发现学生对概念间的关系没有准确理解，以及对语言理解发生偏差会导致关系间混淆导致的错误。具体而言，一是学生在解决两者以上的关系问题时首先就是需要学会辨析，因此学生需要一定的语言理解能力;二是教师在课堂教学时没有具体讲清楚概念和它们之间的关系，从而出现关系间混淆的错误。

如在图6所示的例4，该生知道基本的方位及其规律，但没有找对参照物，这是因为学生认为题中的“目标物”动物园在电影院的前面，因此动物园就是“参照物”，才会出现如上错误。产生这种关系间的混淆，不仅与该生个人原因以及没有理解参照物相关，还与教师在教学时未向学生明晰“目标物”与“参照物”间的关系有关。

三、利用错误资源的有效教学策略

教师对错误资源分析的最终目的是为了对日后的教学起到指导作用。通过上文对错误资源的分析，笔者总结出以下四点利用错误资源的有效教学策略。

1. 创设身边熟悉情景，积累生活经验。生活经验的积累需要一定的时间，课堂时间并不能完全高效地直接给学生传授生活经验，而在课堂上创设大量学生熟悉的生活情景便为学生提供接触生活经验的载体，拉近生活与数学知识之间的距离。因此，教师应在教学中创设学生熟悉的便于操作的实践活动情境，让学生在活动中亲身体验数学知识，积累活动经验，从而改变教学与生活脱轨的现状，减少学生的经验性错误。如在本课目知识的教学中，教师在课前让学生在教室或者校园里找一找、说一说、辨一辨四个方向，学生通过观察、操作、描述、想象和交流等活动，丰富他们的知识体验和活动经验。学生在学习简单的平面图时，教师提前复印学校平面图并派发给学生，让学生对照平面图在校园里进行方向的辨别，引导学生综合利用所学习的方向的知识解决实际问题。在这些活动中，学生生活经验与空间表象的感性体验都大大丰富，进一步促进其空间观念的形成，学生的经验知识体系得到完善，有效减少了经验性错误的出现的频率。

2. 关注学生已有经验，澄清迷思概念。学生通过生活观察和体验形成了不少非正式概念、经验或思维方式，这些会让学生在正式学习时同新知识混淆。西方学者将此类错误概念称为“迷思概念”。而通过对错误资源的分类，我们知道学生会因先前累积经验而形成具有偏差的记忆与思维定式，即“迷思概念”造成概念性错误。因此，教师在教学过程中要关注学生的已有经验，并引导学生有效地利用自身的生活经验，认识并理解概念性知识。例如，在本课目知识的教学中，教师可以利用学生“迷思概念”导致的学习错误资源，把小学生熟悉的小学以及周遍的一些标志性建筑的示意图代替书中的主题图作为背景来进行教学。在此基础上，教师可以规定一个方向，在演示、讨论的过程中完善学生对方向新的认识，向学生传达“相对性”的思想，在他们头脑中澄清学习过程中的迷思概念，建立初步的方向框架，培养学生的空间观念。

3. 寻找新旧知识联系，增强解题能力。数学题追求的不仅仅是答案符合实际，而是答案合乎规范、契合该课时要求学生所掌握的知识点。对本课时而言，一年级学习的“上、下、左、右、前、后”几个基本方位，以及语文课本中学习的儿歌“东西南北”是学生学习的重要知识基础和生活经验。因此，针对学生的合理性错误，教师在教学中应充分利用学生已有的方向知识和经验，寻找新旧知识的联系展开教学。例如，在认识东、南、西、北四个方向时，先通过描述物体的前、后、左、右位置关系的变化，产生学习新知的需求，再通过儿歌的回忆，唤起学生已有的知识经验，根据儿歌引导学生推出：前面──东，后面──西，左面──北，右面──南。在学习平面图中方向时，又将上──北、下──南、左──西、右──东联系起来，利用新旧知识间的联系，既有利于学生对四个方向的记忆，又帮助学生找到了辨认方向的方法。

4. 引导学生学科迁移，提高理解能力。分科教学让学科的系统性更加完整清晰，但同时会让学生在学习不同学科时产生“刻板印象”，即认为学科之间是相互独立的，并且会产生“某些学科不必要学习”的想法。因此，教师在教学过程中要注重学科之间的迁移，让学生灵活运用所学的知识，拓宽思维。数学中的“关系间”的知识学习是比较特殊的，需要学生具有较强的语言理解能力，因此，教师应该在关系间的教学中注重提高学生的理解能力。例如，在本课目知识涉及关系间的问题主要是参照物的问题。在学习语文的过程中也有很多涉及事物间关系的知识，这些知识也可以用于数学中。另外，在数学课中教师可以通过挑选一些较为典型和易错的练习，教学生辨析题目中的参照物。具体可以在教学过程中让学生先自己尝试读题，找出需要辨析的事物，而后教师要从分析句子出发，从关键词（如“在”“位于”等）入手。在此基础上，教师还应当引导学生进行总结，学生会在总结中发现题目中关系之间的相同意义，即证明学生已经理解题目中的参照物与本体之间的关系。

总之，在学习过程中错误的出现是不可避免的。首先，教师应重构错误资源价值观，构建正确的错误资源价值观，从全新的视角、用“可利用的”眼光看待错误，创建一个师生相互支持的容错的学习氛围。同时，要善于结合学情去捕捉、发现错误背后隐含的教育价值，把它作为课堂和练习宝贵的再生资源。其次，学生应在教师引导下學会从错误中求知，在错误中探究，使自我的学习体验得到检验、修正、丰富与建构。因此，教师要学会分析错误资源并以此为依据调整教学策略，有效利用数学错误资源，从而不断提升教学效果，创造出更适合学生发展的课堂。

责任编辑   张庆晓