摘   要：《义务教育数学课程标准》指出：数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。分类讨论思想是初中数学教学中的一种极为重要的思想。本文在教学实践的基础上以初中代数教学为切入口，对分类讨论思想在絕对值、幂为1、平方根、行程问题、含参不等式、方程、中位数及函数教学中的应用等方面进行研究，以期培养学生的数学核心素养，提高学生分析和解决数学问题的能力。

关键词：分类讨论;不确定;应用;能力

作者简介：童海燕，浙江省杭州市临安区昌南初级中学教师。（浙江  杭州  311321）

中图分类号：G633.62      文献标识码：A      文章编号：1671-0568（2019）07-0059-04

分类讨论既是一种重要的数学思想，又是一种有效的解题方法。运用分类讨论思想不仅在解决问题的逻辑上具有优势，而且有利于促进学生学习能力的培养及思维严谨性的提升。如果教师在初中数学教学中注重和加强分类讨论思想的渗透、训练、反思和巩固，使学生养成全面考虑问题的良好习惯，就有助于学生更加深刻地认识和理解数学知识，培养学生的数学核心素养。分类讨论思想在初中代数、几何以及代数与几何的综合题中均有着广泛的应用，本文主要是对分类讨论思想在初中代数教学中的应用进行探讨。

当被研究的对象存在不确定性而又无法进行统一研究时，就需要制定一个合理的标准，将需要研究的对象进行分类，然后对每一种可能性逐一研究得出结果，最后通过筛选归纳整理出所有的正确结论，这种思想方法被称为分类讨论思想。用这种思想方法解题主要包括化整为零、归纳整理和积零为整三个步骤。首先思考为什么要分类，然后制定出合理的分类标准，根据不确定因素将题目中的条件分为若干情况并对其进行逐个击破，最后归纳整理得出结论。

一、分类讨论思想在平方根教学中的应用

大多数学生都知道：一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数。然而，学生在解题时往往因不能正确运用平方根的性质而导致解错。

例1：若一个正数m的平方根是2a+4与5+a，求a与m的值分别是多少。

分析：根据平方根的性质可以发现本题有两种情况：①2a+4=5+a，解得a=1，则m=36;②2a+4与5+a互为相反数，即（2a+4）+（5+a）=0，解得a=-3，则m=4。

反思：如果告诉我们一个正数的两个平方根是含有字母的代数式，解这类题之前教师可以引导学生先回顾平方根的概念和性质再进行分类讨论，而分类标准是这两个数可能是相等的，也可能是互为相反数。

二、分类讨论思想在绝对值教学中的应用

1. 对于绝对值的化简问题，学生往往会因为没有理解它的代数意义而导致漏解甚至理不清解题思路。

例2：化简|a+1| + |a-3| +|a-4|。

分析：首先，要根据绝对值的代数意义把绝对值的符号去掉。解题时教师可以先引导学生回顾知识点：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。由于a的大小不确定，无法判断绝对值符号内的代数式的正负，因此必须先对a的取值范围进行分类讨论。教师可以引导学生先从特殊情况出发，根据使每个绝对值内的代数式为零的a的取值进行分类：当|a+1|=0时，a=-1;当|a-3|=0时，a=3;当|a-4|=0时，a=4。这样就可以把a的取值范围分为四个部分，在数轴上可表示为如图1所示，然后根据a的不同取值范围分别判断出绝对值符号内代数式的正负，最后再去掉绝对值进行化简。

当a<-1时，原式=-a-1-a+3-a+4=-3a+6;当-1≤a<3时，原式=a+1-a+3-a+4=-a+8;当3≤a<4时，原式=a+1+a-3-a+4=a+2;当a>4时，原式=a+1+a-3+a-4=3a-6。

反思：对于绝对值符号内代数式的正负性不确定的化简问题，要利用从特殊到一般的方法对a的取值进行分类讨论，然后去掉绝对值进行加减运算达到化简的目的。

2. |a-b|的几何意义是在数轴上表示a的点到表示b的点的距离。

例3：求方程|x-1|=3的解。

分析：很多学生一看到题目就抢答：x=4。师：对吗？他们又开始思考。这时教师可启发学生先思考它的几何意义，然后引导他们画出数轴，学生在画图的过程中借助数形结合思想就不难发现在数轴上到表示1的点距离等于3的点在1的左右两边各有1个，如图2所示分别是-2和4。

反思：对于这类题型，学生首先要勤画数轴，再根据绝对值的几何意义以及数轴上两点间距离的双向性进行分类讨论，最后得出正确答案。教师可再设计一个巩固练习：求方程|2a-6|=8的解，以加强学生对分类讨论思想的应用和发展。

三、分类讨论思想在幂为1的教学中的应用

在学习同底数幂的除法（3.6章节第2讲）时，教材上规定了零指数幂的意义，那么幂为1的情况就有3种：①指数为0，且底数不为0;②底数为1;③底数为-1，且指数为偶数。

例4 ：已知（2x - 5）x+3=1，求x的值。

分析：（1）当x+3=0时，x=-3，此时2x-5=-11≠0，（-11）0=1;

（2）当2x-5=1时，由于1的任何次幂都为1，故（2x-5）x+3=1，解得x=3;

（3）当2x-5=-1时，x=2，此时x+3=5，因为（-1）5=-1，所以x=2舍去;

综上所述，当x=-3或x=3时（2x-5）x+3=1。

反思：学生需要明白解此类题目要分类的原因是因为幂为1有3种情况，它具有不确定性，其次需检查分类是否全面，最后要根据实际情况对所求得的结论进行筛选。如：指数为0时要检查底数是否为0，因为0的0次幂没有意义;底数为-1时要检查指数是否为偶数，因为-1的奇次幂为-1;而底数为1时，因为1的任何次幂均为1，所以此时只要检查所列方程有无解错即可。

四、分类讨论思想在行程问题中的应用

例5：A、B两地相距48千米，星期六上午7∶00小慧骑自行车从A地出发去B地，1小时后，小聪骑摩托车沿同一路线也从A地出发去B地，他们行驶的路程S（千米）与小慧行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图3所示。则小聪行驶     时的时候，两人相距4千米。

分析：根据图示计算出小慧的行驶速度为16千米/小时，小聪的行驶速度为32千米/小时。因小慧比小聪早出发1小时，因此两人相距4千米则可能是小聪追上小慧之前，也有可能是小聪追上小慧之后，所以需要进行分类讨论。相遇前，可画如图4所示的线段示意图：S小慧-S小聪=4，根据之前的分析，设小聪行驶t小时后，两人相距4千米，由S小聪=32t，S小慧=16（t+1），可列出方程16（t+1）-32t=4，解得t=0.75。 相遇后，可画如图5所示的线段示意图：

S小聪-S小慧=4，同样可以列出方程32t-16（t+1）=4，解得t=1.25。

反思：解这类题时，教师要指导学生先根据已知条件画出线段示意图，然后根据等量关系列出方程，这样不仅有利于培养学生的动手能力，还有利于学生养成全面考虑问题的习惯，以免漏解。另外，这类题也可用公式“追及时间=追及路程÷速度差”来解决。

五、分类讨论思想在方程中的应用

含参方程在数学课程标准、八年级下册课本及中考命题细则中都有很明确的知识和能力要求，但学生在解决此类问题时往往会因考虑不全面而造成漏解。

例6：关于x的方程（m+3）x2+（2m-1）x+m-3=0有实数根，求m的取值范围。

反思：虽然这两种解法都运用了根的判别式，最终答案也一样，但第二种方法对二次项系数是否为零进行了讨论，相比较而言，很显然运用第二种解法的学生对所学知识理解得更为透彻。实际上题目条件中的“方程”就是一个不确定因素，故解这类题时要求学生仔细审题，以免漏解一元一次方程的情况。为了更好地掌握，教师可问：如何将题中的条件稍作改变第一种解法就对了？在函数中也有类似的问题吗？

六、分类讨论思想在含参不等式中的应用

例7：关于x的不等式组x-a>01-2x>x-5无解，求a的取值范围。

分析：学生在解这类题目时，往往是根据解一元一次不等式组的步骤先解出各个不等式：①x>a，②x<2，再根据确定不等式组解的口诀“大大小小题无解”得出a>2。事实上，学生如果能借助数轴如图6和图7所示，就会发现数轴上表示2和a的两个点都是不包括的，所以当a=2时，原不等式组还是无解，故a≥2。

反思：学生在解这类题时，常常由于不能全面分析问题而导致错误，笔者认为其主要原是因为学生不清楚不等式组产生有解还是无解的条件。因此，教师要指导学生遇到解含参不等式时要借助数轴利用数形结合思想来帮助解题，以防漏解。为了使学生能更好地掌握此方法，教师还可以将原题变式后再让学生来解，以提高学生分析和解决问题的能力，促进数学核心素养的培养。如将原不等式有解改成无解，求a的取值范围。

七、分类讨论思想在中位数教学中的应用

在学习中位数時，我们会碰到一组数由于某个数据的大小不确定而引起中位数不确定的分类讨论题。如果要确定一组数据的中位数，必须先把这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，若数据个数为奇数个，则中位数为排列后最中间的这个数;若数据个数为偶数个，则中位数为排列后最中间的这两个数的平均数，然而学生在解题时往往会根据已给数据的位置直接来确定中位数而导致错误。

例8：在一组数据3、4、6中加入一个数m，使得平均数与中位数相同，求m的值。

反思：解这类题时，教师可以指导学生先将数据按顺序重新排列，然后分析m所处的位置有几种不重不漏的情况，再根据m的不同取值范围分别求出各个中位数的值或所表示的代数式，最后由题意列出方程并求解，这样有助于提高学生的数据分析能力和数学核心素养。

八、分类讨论思想在函数教学中的应用

例9：已知一次函数y=kx+b，当-1≤x≤4时，所对应的函数y的值为-8≤y≤7，求这个一次函数的解析式。

分析：很多学生在解这道题时，直接把x=-1时y=-8，x=4时y=7分别代入y=kx+b，得到方程组-k+b=-84k+b=7，解得k=3b=-5，故所求解析式为y=3x-5。学生匆忙审题后急于求解，并没有真正理解题目的条件与问题，更挖掘不出潜在的分类讨论思想。这类学生是默认此题为递增函数即当k>0时来解的，然而事实上K值是不确定的，所以必须根据K的正负来进行分类讨论。当k>0时，y随x的增大而增大，函数图像经过（-1，-8）和（4，7）的两个点，再利用待定系数法求出函数解析式为y=3x-5。当k<0时，y随x的增大而减小，则函数图像经过（-1，7）和（4，-8）的两个点，同理可以求出k=-3，b=4，故所求解析式为y=-3x+4，最后归纳整理出结论。

反思：求一次函数的解析式必须先知道图像经过的两个点，如果这两个点不能确定，那么就需要制定一个合适的分类标准。一次函数中K值往往不确定，所以教师要指导学生多利用函数的增减性来进行分类讨论，还要引导学生多画图，通过画图就会容易发现图形有多种情况。教学中若能把数形结合和分类讨论思想有效地结合起来，则更有助于学生分析和解决问题。

例10：当0≤x≤3时，求二次函数y=x2-2x的最值。

分析：因二次项系数1>0，图像开口向上，所以很多学生看到这道题目的第一反应就是先把这个二次函数用代公式或配方的方法：如根据y=x2-2x=（x-1）2-1求出这个函数的最小值为-1，但无最大值。另外还有些同学则直接将x=0和x=3分别代入函数解析式，求得函数值分别为0和3就得出结论：二次函数y=x2-2x有最小值0，最大值3。显然这两位学生的解法都是错误的。第一种解法只有在自变量的取值范围不受限制的时候才适用，而第二种解法则只有在所取自变量在对称轴的同侧时才适用。

反思：解此类题时教师要启发学生多画图，如图8所示，利用数形结合思想不仅可以培养学生的动手能力，还可以轻松而又准确地解决此问题：最小值-1，最大值3。当已知二次函数自变量的取值范围求最值时，需要进行分类讨论：如果顶点的横坐标在这个范围内，那么顶点的纵坐标即为其中的一个最值，到底是最大值还是最小值则由二次项系数的正负决定;如果顶点的横坐标不在这个范围内，那么两个端点的纵坐标即为此函数的两个最值。

笔者经过多年的教学实践，发现加强和注重数学思想方法的教学能减少学生盲目探索的过程，能让学生从毫无目的的学习状态转化到有目的性的学习状态，提高学生的学习效率。而合理运用分类讨论思想有利于培养学生的逻辑推理能力和思维的严谨性。笔者从近几年的数学中考试题中发现，命题者越来越注重分类讨论思想的应用与考查，所以教师在平时的数学教学中一定要注重和加强分类讨论思想的渗透和应用。但在运用分类讨论思想解决数学问题时要注意以下几点：首先只有在问题的条件或结论不确定时才能用;其次，分类标准一定要统一，要做到不重不漏，逐类求解;再次，分类讨论之后要对结论进行筛选和归纳;最后要明白分类讨论思想不是独立存在的，它经常需要结合其他的数学思想方法才能更加有效地解决难题，提高学生分析问题和解决问题的能力。

参考文献：

[1] 曾勤.让学生的思想在“数”与“形”的世界里自由穿梭——以“函数的极值与导数”为例浅谈数形结合思想在新课教学中的阐释[J].数学学习与研究，2014，（15）：64-66.

[2] 龚足章.分类讨论思想在解数学题中的应用[J].高中生，2009，（10）：10.

[3] 义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

责任编辑   张庆晓