程仕然 蒋智东

[摘  要] 古典概型的课堂教学要抓住数学建模的契机，帮助学生学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言描述世界，从而达到培养核心素养的目的;抓住建模过程中通过数学抽象把实际问题数学化、符号化、模型化的典型探究过程，提升学生数学能力.

[关键词] 课堂教学;重构研究

引言

古典概型是高中数学概率与统计模块的核心概念，是继小学、初中相关内容的深入学习，对后继的几何概型、随机变量概率分布的学习有着深远的影响. 本节内容的教学是提升学生数学核心素养的良好契机，也是培养学生解决生活中的数学问题，提升学生数学能力，进行数学抽象、数学建模、数学化、符号化的最典型内容.

基于核心素养的古典概型课堂教学现状反思与重构研究

站在新课标的高度，从数学核心素养的视角出发，笔者对当下古典概型的课堂教学进行梳理和研究，发现存在如下问题需要我们进行反思和重构.

1. 情境引入追求形式，不顾实效，忽视教师的主观意识对教学的影响

案例一：“狄青百钱定军心”的情境引入.

案例研究：这是一个使用很多的情境引入. 故事很精彩，也和数学文化沾边，但是跟古典概型关系不大. 情境创设要有利于引发学生思考和交流，应结合教学任务进行设计.

案例二：“抛一枚硬币实验”的情境引入.

案例研究：这个实验在小学、初中都反复研究过了. 让学生“假装不知道”，再次研究，有炒冷饭之嫌，激发不起学生探究新知的兴趣，没有达到情境引入的目的.

案例反思：课堂教学是丰富多变的，情境引入是多样的，但是肯定要围绕课堂，服务于课堂. 问题情境是数学课堂教学的起点，是数学知识产生的源头，由数学知识本性决定，要建立在学生的“数学现实”基础上，将客观现实和数学知识融为一体. 有效的问题情境教学的特征是能够内隐数学问题，引导学生提出问题，重视情境内容、经验内容与数学内容的高度融合. 新的教学模式和手段已经不拘泥于课堂45分钟的学习了，微课、微视频、翻转课堂、数学实验、计算机模拟数学实验、互联网大数据时代已经使现在的课堂教学可以拓展延伸到课堂之外了.

案例三：“投一枚骰子实验（质地均匀）”的基本事件.

（1）当考察向上点数时，基本事件是六个.

（2）当考察向上点数是奇数还是偶数时，基本事件可以是两个，也可以是六个.

（3）当骰子一面涂黄色，五面涂红色，考察正面向上颜色时，基本事件只能是六个.

案例研究：由于基本事件（一次试验中可能出现的每个基本结果）是人为设定的，有限性和等可能性是衡量的标准. 这就要讲清楚概念的界定，很多人在讲（1）时就很草率地一带而过，碰到（2）时说不清基本事件是两个（奇数向上和偶数向上是等可能的，两类分别三个情况）的来历，对于（3）中不能从等可能的角度及时给学生合理解释“为什么不是黄色和红色两个基本事件”.

案例四：解答概率问题时，学生能给出概率问题的结果，不能写出完整的解题过程.

案例研究：概率问题在小学、初中阶段都有所涉及. 小学阶段由于学生的认知水平限制，为了避免学习过多艰深的术语，采用“可能性”来代替“概率”. 初中阶段学习事件的可能性及简单事件的概率问题，这一块内容也是初中数学的薄弱环节. 高中之前零碎的、非正规的概率内容学习使得一些学生在学习高中概率问题时，产生一些错觉：这个问题结果我知道，这个问题我会了. 忽视对古典概型这一全新概念的学习，对模型建立不够重视，导致后期解决稍难问题时，又后继乏力. 由于学生学习的假象，也使得部分老师在讲授概念时一带而过，把大量的时间花在例题的讲解上. 这无疑是本末倒置的，造成的结果是学生在解题时，跟着感觉走，而不是通过模型识别，进行理性分析解题.

案例反思：数学解题“对要概念清，快要定理明”，这也说明概念的重要性. 教师应该全面把握学情，重视学生的前摄负影响，重视学生在学习过程中的主体体验，引导学生在体验中感悟，让学生通过自我尝试去理解概念、运用概念，从而达到概念内化的目的，促使其能运用数学概念灵活处理相关的数学问题，进而培养学生用数学的眼光观察现实世界的习惯，用数学的语言表达实际问题的能力.

案例重构：数学建构（课堂实录）.

（1）回顾自主试验成果：我们把上述一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件.

若在一次试验中，每一个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件. （表1）

例题1：从字母a，b，c，d任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？

师：我们要用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表述世界. 数学化、符号化也是我们解决数学问题的基本要求.

所以，所求的基本事件共有6個：

A={a，b}  B={a，c}  C={a，d}

D={b，c}  E={b，d}  F={d，d}

师：从这两个试验和例题1中的基本事件的个数和概率两个角度总结归纳出这类试验具有的共同特点. （表2）

（2）通过以上例子进行归纳：①所有的基本事件只有有限个;②每个基本事件的发生都是等可能的.

我们将满足①和②两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型.

辨析：①向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？

②某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中5环和不中环. 你认为这是古典概型吗？为什么？

生4：①不是古典概型，虽然每个基本事件都是等可能的，但是基本事件不是有限个;②不是古典概型，虽然基本事件是有限个，但是每个基本事件不是等可能的.

师：能自己举一个古典概型的例子吗？

生5：甲、乙、丙三人选出一人作代表，甲被选中的概率. 基本事件有三个，是等可能的.

接下来看下面的问题：

（1）试验2中，抛掷一枚骰子：

①它落地时向上的点数为3的概率是多少？

②它落地时向上的点数为奇数的概率是多少？

2. 建模过程简单直接，缺少过程，忽视模型研究中的数学化、符号化功能，错失提高数学抽象能力的良机

案例五：抛一枚硬币多次和一次抛多枚硬币实验的基本事件讲解.

（1）抛一枚硬币两次实验;

（2）一次抛两枚硬币实验.

案例研究：对（1）的基本事件讲解时止步于“正，正”“正，反”“反，正”“反，反”，这也造成不少学生对（2）的基本事件错误理解成只有“正，正”“正，反”“反，反”三种情况. 如果能够更进一步对（1）的问题进行数学化、符号化处理：记硬币的正面为F，背面为B，则（1）中基本事件可表述为“F1，F1”“F1，B2”“B1，F2”“B1，B2”，这样在处理（2）的时候学生就不会认为“F1，B2”和“B1，F2”是“正，反”的一种情况了. 同样案例三（3）的基本事件就可以处理为Y1，R1，R2，R3，R4，R5这六个等可能基本事件，就能减少认为只有黄色向上和红色向上两个基本事件的误解.

案例六：（苏教版《必修3》3.2节例1）一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球.

（1）共有多少个基本事件？

（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？

案例研究：教师在讲评时，或者只是用自然语言来概述了一下情况，或者只是简单说成“白1，白2，白3，黑1，黑2”，或者一下子就推出“记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球有如下基本事件‘摸到1，2号球用（1，2）表示”. 前者导致学生看到摸球问题时只能想到摸球情境，看到投骰子问题只能想到投骰子情境，而不能看出这二者本质的相同;后者跳跃性太大，一下子抽象到数学符号，学生虽然能够勉强接受，但是体会不到符号化的好处，体会不到符号化后带来的（模型）统一和（解题）便利.

案例反思：数学是数与形的科学，上述问题不正是由形到数的典型演绎吗？抓不住这个契机，就错过了数学核心素养提出的：在实际情境中，从数学的视角提出问题，用数学的思想分析问题，用数学的语言表达问题. 错失了在具体问题处理时加强学生对问题的数学化、符号化的能力培养.

案例重构：数学运用（案例六的讲评实录）.

一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只红球，从中一次摸出2只球.

（1）共有多少个基本事件？

（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？

师：该同学对这个问题分析得很好！但是，我们数学讲究简练，所以上述问题能否通过数学化、符号化处理一下，用数学的语言来描述一下？

师：同学8比同学7的解答简练、抽象了很多，数学味浓了. 联想到高一学的映射问题、数对问题，这个模型还能更简练、抽象一点吗？

师：他说得很好！大家有没有觉得：这样一修改，对本类问题的解决起到了举一反三的效果？原来（白1，白2）的类似表述只能解决具体的问题，但是后来符号化后（W1，W2）的表述对问题的解决进行了优化，抽象为（1，2）的表述能够解决这一类古典概型问题. 比如前面同学5举出的例子可以抽象为1，2，3中选出一个数，1被选中的概率. 抛一枚硬币实验中可记“正面向上”为0，“反面向上”为1. 这些问题，我们在小学、初中都有所接触，以前只需给出结果. 现在，我们通过今天的学习，对这类问题进行了理论研究，建构了数学模型——古典概型，并对问题进行了深入处理——数学化、符号化. 这样，我们对概率问题的研究又向前迈出了一大步，从感性认识上升为了理性认识.

基于核心素养的古典概型课堂教学重构建议

1. 学法方面：引入数学实验，在時空上对课堂进行拓展. 改变学生只听（课）不做（试验）的模式，让学生通过参与小组试验，对试验现象进行观察记录，对试验数据进行记载和处理，对试验结果进行理论检验和验证，对试验模型进行数学建模及推广.

2. 教法方面：改变以往轻概念（学习）重解题（教学）的教学习惯，改变课上教概念讲例题，课后练习巩固的教学模式. 重视古典概型的建模过程，概念生成过程，重视学生本节内容学习的前摄影响，引导学生从新的高度和要求出发，对研究内容的严谨性、完备性、科学性、一般性进行深入探讨，从而提升学生的数学素养和能力.

总之，古典概型的课堂教学要抓住数学建模的契机，帮助学生学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言描述世界，从而达到培养核心素养的目的;抓住建模过程中通过数学抽象把实际问题数学化、符号化、模型化的典型探究过程，提升学生的数学能力.