李晓杰, 王渺渺, 唐顺磊, 董明慧

(齐鲁理工学院，济南 250200)

1 引 言

自1966年Blume-Capel(BC)模型被创建以来[1,2]，人们利用不同方法对多种晶格上的BC模型的磁化性质、热力学性质和相图进行了研究. Zhang和Yan研究了外磁场遵循三模随机分布时，简立方晶格中混合自旋系统的相变行为[3]. 同年里，Zhang和Yan还研究了外磁场和交换相互作用都遵循双模随机分布时，简立方晶格中混合自旋系统的临界行为[4]. 文献[5]中用有效场理论研究了简立方晶格中BC模型的补偿行为和磁化过程. 文献[6]中研究了外磁场服从双峰离散分布时蜂巢晶格的相变性质，发现外磁场、晶场和自旋间交换相互作用影响系统的相变并且系统出现重入现象；文献[7]的研究表明稀释晶场对蜂巢晶格系统磁学性质和相变的影响，结果显示当晶场满足稀释分布时对系统的相变没有影响并且系统不会出现三临界现象. 近几年来，磁性纳米管逐渐成为科学研究的一个焦点，实验和理论研究都取得了一定的进展. 实验上，毛瑞等人以植物纤维素为模板，制备的中空Sn02纳米管作为锂离子电池负极材料，具有较高的放电容量和良好的电化学循环性能[8]. 文献[9]中发现Fe-Ni磁性纳米管具有明显的各项异性；理论上，Zaim小组研究了外磁场满足三模分布时纳米管上自旋为1Ising模型的磁化性质、热力学性质和相图[10]，结果表明纳米管外壳层和内壳层自旋间交换相互作用比值和外磁场影响系统的磁化强度、热力学性质及相变. Osman等人分别讨论了纳米管中纯自旋系统和混合自旋系统的磁化强度、磁化率、热力学性质和相图[11-13]，研究了晶场对系统磁化性质的影响，发现系统存在一级相变和二级相变. Kaneyoshi 讨论了纳米管中磁化率随温度的变化情况[14]，发现当外壳层和内壳层最近邻自旋间交换相互作用不同时会改变系统的磁化率. 文献[15]结果显示双模随机晶场中BC模型的磁化强度和相变性质，得到了系统的磁化强度与温度和随机晶场的关系以及相图，结果表明系统在稀释晶场、交错晶场和同向晶场中会表现出不同的磁学性质和相变行为. 文献[16]讨论了纳米管上BEG模型的热力学和相变性质，研究发现系统存在三临界点. 文献[17]研究了稀释晶场作用下纳米管中BC模型的磁化性质，结果表明，稀释晶场作用下系统的内能、比热和自由能呈现出不同的磁学性质. 文献[18]利用基于密度泛函理论的第一性原理方法研究了稀土金属La吸附掺杂BN纳米管的储氢性能. 据我们所知，迄今人们还没有研究外磁场和稀释晶场对纳米管系统磁化强度的影响. 为了弄清楚外磁场和稀释晶场对纳米管系统磁化性质的影响，本文利用有效场理论对纳米管上混合自旋BC模型格点的平均磁化强度以及外壳层和内壳层格点磁化强度与稀释晶场取值概率、外磁场和晶场的关系进行了研究，给出了磁化强度随温度的变化曲线.

2 模型和方法

无限长纳米管由内壳层和外壳层两部分组成，见图1. 图1(a)为纳米管的立体示意图，图1(b)给出其横截面示意图. 为了更清晰地显示不同格点上具有相同配位数的磁性原子，用圆圈、方块和三角形分别代表配位数为5、6和7的磁性原子. 外壳层每个磁性原子的自旋为1，内壳层每个磁性原子的自旋为1/2. 图中原子间的连线代表最近邻磁性原子之间存在交换相互作用，它们的大小分别为J1、J2和J.

图1 纳米管示意图. (a) 立体图，(b) 截面图，圆圈和方块代表外壳层磁性原子，三角代表内壳层磁性原子，实线表示最近邻自旋间的交换相互作用. Fig. 1 Theschematic pictures of nanotube: (a) perspective view of the cylindrical nanotube, (b) its cross section. The circles and squares respectively represent magnetic atoms at the surface shell. The triangles are magnetic atoms constituting the core shell. The bonds connecting the magnetic atoms represent the nearest-neighbor exchange interactions.

纳米管上BC模型的哈密顿量可表述为

(1)

其中S=-1, 0, +1；σ=±1/2.J1代表外壳层最近邻自旋间的交换相互作用，J代表内壳层最近邻自旋间的交换相互作用，J2代表外壳层和最近邻的内壳层自旋间的交换相互作用，h代表外磁场，Di代表作用在格点i上的稀释晶场，它们都满足稀释晶场分布

P(Di)=pδ(Di-D)+(1-p)δ(Di),

(2)

其中p(0≤p≤1)表示稀释晶场取值为D的概率，1-p代表示稀释晶场取值为0的概率，当p=1时，含稀释晶场的BC模型退化为含恒定晶场的BC模型，当p=0时，含稀释晶场的BC模型中没有晶场作用.

利用有效场理论[19-21]可以得到外壳层格点自旋磁化强度m1和m2，内壳层格点自旋磁化强度mc的自洽方程：

(3a)

(3b)

(3c)

其中函数F(x)定义为

pf(x,D)+(1-p)f(x,αD),

(4)

(5)

函数f(x,Di)的表达式为

(6)

其中β=1/kBT，T是绝对温度，kB是玻尔兹曼常数. 另外，为了整体上描述系统的磁学性质可引入平均磁化强度[22]，它的定义为

(7)

3 结果与讨论

为了便于研究，不特别说明，本文余下内容均取J1/J=J2/J=1. 为了不失一般性，令外磁场h、晶场强度D和等效温度kBT以J为单位，通过求解方程(3)，给出了外磁场和晶场作用下系统格点磁化强度随温度的变化曲线.

3.1 外磁场为零，系统的平均磁化强度

图2(a)—(d)给出了晶场服从稀释分布时，系统磁化强度随温度的变化曲线. 图2表明，当外磁场h/J=0时，稀释晶场(p不同)和晶场强度不同会使系统表现出不同的磁化性质. 图2(a)和2(b)显示，正晶场对系统磁化强度具有促进作用，正晶场越强，促进作用越明显，但系统呈现的磁学性质比较单一. 图2(c)和2(d)表明，负晶场对系统磁化强度具有阻碍作用，负晶场越强，阻碍现象越明显. 从图2(c)可以发现，p不同，系统磁化强度呈现不同的现象. 研究发现，当0≤p≤0.967时，系统仅发生二级相变；当0.967

3.2 外磁场作用于系统，系统的平均磁化强度

图3(a)—(d)给出了外磁场和正晶场作用于系统时，平均磁化强度MT随温度的变化曲线. 对比图2(a)和2(b)可以发现，由于外磁场的作用，系统的二级相变消失；但没有呈现其它的磁化现象.

图4(a)—(d)给出了外磁场和负晶场作用于系统时，平均磁化强度MT随温度的变化曲线. 对比图2(c)和2(d)可以发现，由于外磁场的作用，系统的二级相变消失；但存在一级相变(如图2(a)). 比较图4(a)和2(c)发现，当外磁场较弱时，其对平均磁化强度的影响不明显；但随着外磁场强度的增强，系统的一级相变也会消失，如图4(b). 比较图2(d)、4(c)和4(d)，我们发现外磁场的强弱对基态的磁化强度影响较小，而对相变温度影响较大.

平均磁化强度，只能描述系统整体变化情况，而不能看出纳米管外壳层和内壳层的磁化性质；同时，负晶场作用于系统时，系统呈现的磁学性质更加丰富. 因此，我们又对纳米管外壳层和内壳层的磁化强度进行了研究.

3.3 外磁场为零，外壳层和内壳层格点的磁化强度

图2 外磁场为0，晶场参数D/J分别为(a) 10.0，(b) 2.7，(c) -2.7，(d) -10.0时，系统磁化强度随温度的变化曲线，曲线上的值为随机晶场概率p. Fig. 2 The temperature dependence of the magnetization is presented with some selected values of crystal field D/J (a) 10.0，(b) 2.7，(c) -2.7，(d) -10.0, when the external magnetic field is zero. The real number on each curve denotes the value of p.

图3 外磁场不为0且晶场参数D/J取正值时，系统磁化强度随温度的变化曲线， 曲线上的值为随机晶场概率p. Fig. 3 The temperature dependence of the magnetization is presented with some selected values of crystal field D/J, when the external magnetic field is not zero. The real number on each curve denotes the value of p.

图4 外磁场不为0且晶场参数D/J取负值时，系统磁化强度随温度的变化曲线， 曲线上的值为随机晶场概率p. Fig. 4 The temperature dependence of the magnetization is presented with some selected values of crystal field D/J, when the external magnetic field is not zero. The real number on each curve denotes the value of p.

图5 外磁场为0，概率p分别为0.95，0.967，0.968时，系统磁化强度随温度的变化曲线. Fig.5 The temperature dependence of the magnetization is presented with some selected values of the probability of p =0.95, 0.967, 0.968, when the external magnetic field is zero.

图7 外磁场不为0，概率p分别为0.972，0.992，1.0时，系统磁化强度随温度的变化曲线Fig.7 The temperature dependence of the magnetization is presented with some selected values of the probability of p =0.972, 0.992, 1.0, when the external magnetic field is not zero.

3.4 外磁场作用于系统，外壳层和内壳层格点的磁化强度

图7(a)—(d)给出了外磁场强度不同时系统的磁化强度随温度的变化曲线. 从图7(a)和(b)中可以看出，负晶场作用于系统时，系统表现出更丰富的磁学性质，即系统发生一级相变. 通过研究发现，当D/J=-2.7，h/J=0.01且0.972≤p≤1.0时，由于外磁场的影响系统仅发生一级相变(如图7(b))；h/J=0.05且0.992≤p≤1.0时，系统仅发生一级相变(如图7(c))；随着外磁场增强，系统的一级相变将消失(如图7(d)).

图8(a)—(f)给出了负晶场较强且外磁场强度不同时磁化强度随温度的变化曲线. 图8(a)—(d)中得到的结果与图6(a)—(c)中的结果相似，但由于外磁场的影响，系统的二级相变消失. 图8(e)和(f)与图6(d)相比，我们发现由于外磁场的影响，外壳层磁化强度不为0，外磁场越强，对外壳磁化强度影响越大.

4 结 论

本文利用有效场理论研究了稀释晶场作用下spin-1和spin-1/2混合自旋BC模型的平均磁化强度以及外壳层格点自旋磁化强度m1和m2，内壳层格点自旋磁化强度mc. 结果表明，系统格点的磁化强度与稀释晶场的取值概率p、晶场强度D、外磁场、温度以及交换相互作用密切相关.P、h和D等诸多因素相互竞争，使系统表现出比恒定晶场作用的BC模型更为丰富的磁化现象：系统格点的磁化强度随温度的变化曲线存在复杂性；P、h和D会影响系统的一级相变和二级相变.

图8 外磁场不为0，概率p分别为0.3，0.7，1.0时，系统磁化强度随温度的变化曲线 Fig. 8 The temperature dependence of the magnetization is presented with some selected values of the probability of p =0.3, 0.7, 1.0, when the external magnetic field is not zero.