王奋际 陈婷婷

一、微专题概述

在高三复习课的教学设计中，我们经常会在重点内容上开设微专题复习课。微专题复习课涉及的教学内容一般不多，教师往往针对某一具体易错点或重难点，从基本概念或基本方法入手，精选例题和习题，编制成能够在一节课完成的专题（教学任务）。微专题以具体的教学内容为载体，以构建整体知识框架为指向，以提升学生数学学习能力为目的，帮助学生更好地弥补盲点、强化重点、突破难点、纠正易错点。

所谓微专题，“微”是指选题切入口小，体现“小处着手，以小见大”；“专”即针对性强，专门针对某个具体问题，以解决学生的疑惑，提升学生能力，并能由此及彼到一类问题的解决。微专题的设计包括以下环节：发现问题、确定主题、精选问题、归纳总结和巩固拓展。具体地说，当教师发现学生出现比较集中的问题，经过梳理整合，确定编制主题，精选出与该主题相关的典型例题来进行教学。更为重要的是，通过对典型问题的分析，总结提炼出一般的规律方法，最后通过练习题进行巩固拓展，进而提高解题能力和数学学习能力。微专题复习课具有操作灵活、指向性强，对提高学生能力有很好的实效，所以在高三的复习课中经常出现。下以课例来具体阐述微专题复习教学。

二、课例教学设计分析

1.教材分析

教师在上课后，要能及时发现学生普遍存在的问题，这些问题即微专题。本课专题的确定源于最近几次試卷的压轴题，统计出学生平均得分都不超过3分。这时学生已进入一轮复习尾声，他们虽然能处理基本的导数题，但对压轴题的常用方法技巧还没有系统的掌握。本课例设计类比圆锥曲线的“设而不求”法拓展到导数中，让学生实现知识的迁移和解题方法的突破。重点理解如何说明导函数零点的情况，“设”完后如何做到“不求”。

2.教学目标

知识与技能：掌握导数解题中的“设而不求”法，并会计算和讨论导函数零点难求或不可求的问题。

过程与方法：经历圆锥曲线中的“设而不求”法迁移到导数中，通过尝试解题、总结解题中的共同难点、合作讨论探究等过程，最终实现问题的解决。

情感、态度与价值观：方法的举一反三与类比迁移、解题中的总结与提炼，让学生逐步提升总结归纳的能力，有助学生核心素养的养成。

三、课堂实录片段

课前发学案给学生重做了前段考试中两道错题：

例题1：若函数f（x）=ax-x2-lnx存在极值，若这些极值的和大于5+ln2，求实数a的范围。

例题2：若函数p（x）=lnx+x-4，q（x）=xex+1设f（x）=p（x）-q（x），试证明f′（x）存在唯一零点x0∈（0，），并求出f（x）最大值。

1.运用类比，知识迁移

教师：谈到“设而不求”，最常见于什么？

学生（众）：圆锥曲线。（播放圆锥曲线的微课）

教师：导数解题中也能用这种方法。请看本节课的学习目标，（1）理解导数解题中何时用“设而不求”方法；（2）掌握导数中如何使用“设而不求”方法。

设计意图：“数学是充满联系的，不要孤立的片段，应该教联系的材料”。微课引入，形象生动，从熟悉的圆锥曲线迁移到导数中来。

2.错题重做，总结升华

教师：请小组讨论例1中自己遇到的难点。

学生1：解：f′（x）=（x>0），-2x2+ax-1=0中，当Δ≤0时，f（x）无极值，故必有Δ=a2-8>0；设两根为x1

f（x1）+f（x2）=a（x1+x2）-（x1+x2）2+2x1x2-lnx1x2，

f（x1）+f（x2）=+1+ln2>5+ln2，又x1+x2=>0，所以a>4。

教师：红笔修改学生书写过程；

追问1：x1，x2能否求出？（能，但难以计算。）

追问2：导函数零点一定是极值点么？

教师总结：这里将表达式f（x1）+f（x2）通过韦达定理转化成只含a的表达式，这是化归思想的体现，将多元化一元，复杂化简单，未知化已知，韦达定理帮助我们实现了“设而不求”。

教师：请学生讨论例2中自己遇到的难点。

学生2：解题过程（略）。

教师：同学们在例2的解答中遇到了哪些难点？

学生3：没有意识到导函数虽然是个无法解的超越方程，但其解是一个定值，不妨设出来x0。

学生4：最后的转化没有想到两边同取对数，求出lnx0。

教师总结：此题利用整体代换思想，不求x0，直接求出和lnx0，将超越式化为有理式，将复杂问题简单化。

设计意图：“理解题目，拟定方案，执行方案，回顾”是解题的四个步骤。老师帮助学生修订其方案，并通过回顾找到共性，通过总结，学生从题海中跳出，精练、巧练，达到举一反三的目的。例题的处理方法多样和有效，怎么搭建“已知”到“未知”的桥梁，让学生通过例题悟化到数学转化和化归的思想。

3.举一反三，学以致用

通过一个练习题来运用“设而不求”方法：

练习：已知函数f（x）=ex-3lnx，求证：f（x）>6-3ln3。

学生：自主完成，小组交流结果。

教师：点评细节，规范书写。

设计意图：数学学习听懂只是第一步，还要求能用规范的数学语言书写，解题完毕还能将解题过程用自己的语言把不懂的同学讲明白，这才算是真正的学会。每堂课不能求快，要让学生尽可能吃透。

4.课堂小结，升华境界

教师：本节课研究导数解题中的“设而不求”方法，请同学们总结三个问题：这种方法何时使用？“设”什么？如何实现“不求”？

学生5：导函数的零点难求或不可求时要用。

学生（众）：“设”导函数零点。

学生6：利用韦达定理、整体代换等方式避免求出零点。

教师：解题中以“化多元为一元、化超越为有理、化复杂为简单”为指针，利用整体代换、转化化归的思想，类比圆锥曲线中的“设而不求”，实现导数题的突破。

设计意图：让学生体会数学解题的本质规律，知道错题是一笔宝贵的财富，只有多思考、多总结才能把数学学好。这节课来源于学生考试中的难题、错题，围绕学生的难点展开，利用学生已有知识进行迁移，探索、总结出更好的方法，让学生从做题、讲解、思考、总结中学到知识。

参考文献：

[1]佛雷登塔尔.作为教育任务的数学[M].上海：上海教育出版社，1995.

[2][美]G.波利亚.怎样解题：数学思维的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2011.

编辑 刘瑞彬