南京师范大学附属中学新城初级中学 (邮编：210017)

笔者有幸参与了南京市建邺区一模试卷的命制工作，其中解答题第22题作图题给笔者留下深刻印象，以下是笔者的一些思考，以期对读者有所启发．

1 试题呈现

图1

题目如图，已知点P为∠AOB内一点，利用直尺和圆规确定一条过点P的直线，分别交AO、BO于点E、F，使得OE=OF．(不写作法，保留作图痕迹)

2 命题过程

2.1 初步方案

在初中数学中，尺规作图被分为两类：一类是“基本作图”：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线．还有一类是“利用基本作图的作图”：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形．过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形．它们都是初中生必须掌握的基本技能．

由于尺规作图的严格规定，使其具备了极高的思维价值．南京市最近几年在初中毕业生学业考试中均出现一道内涵丰富的尺规作图题，它既是对学生的动手能力进行考查，又是对几何基础知识、基本图形的综合考查．一模试卷具有中考试卷仿真性的特点，整卷中需要一道思维含量高的作图题．根据命题双向细目表的要求，试题的知识点以等腰三角形为载体，难度系数为0.5-0.6，切入点广，便于不同认知风格学生解决问题．

2.2 形成初稿

计划拟定后，翻阅有关资料，有一道练习题吸引了笔者的注意．

图2

如图2， 点P是∠AOB的平分线上的一点，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．

图3

图4

图5

此题有两种解法．如图3，过点P分别作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，根据“AAS”或“HL”可得△POM和△PON全等；如图4，过点P作EF⊥OP交OA、OB于点E、F，根据“ASA”可得△POE和△POF全等．图4中的△EOF就是等腰三角形，从命题的知识点角度符合要求，但难度偏低，区分度不高．于是，命题组改变素材条件，把“点P是∠AOB的平分线上的一点”改为“点P为∠AOB内一点”，从特殊到一般，弱化条件后的命题难度有所提升．但在答案的制定上，受思维惯性影响，利用化归思想，在角平分线OC上找一个点M，使得过M点垂直于OC的直线过点P即可．本题答案如图5，作∠O平分线OC；过点P作OC的垂线PM交OA于E，交OB于F，则EF为求作的图形．

2.3 完善解答

图6

本题的作法不唯一，比较开放，评分标准有必要给出有可能出现的答案，方便教师阅卷和评分，有效减少评分的误差，提高试题的信度．作图题常见思路，就是把分析法与综合法相互结合，关注基本轨迹，即同时满足两个轨迹的点，就是同时满足两个条件的点．笔者作出符合条件要求的图6，观察图形，分析结果，剖析本题的条件，如图7所示．

图7

若满足条件2：OE=OF，但直线EF不过点P，本质就是做一个以O为顶点的等腰三角形，再作一条平行于底的直线就是满足条件的图形．作已知直线的平行线，在初中阶段可以通过角的数量关系，或平行四边形的性质作出．于是，答案会出现下列几种作法．

图8

如图8，作OM=ON；连接OP交MN于Q；作∠OPE=∠OQM；作直线EP交OB于点F，则EF为求作的直线．

图9

如图9，作OM=ON；连接PN；作PN的中点C；连接MC并延长至点Q，使得CQ=CM；作直线PQ分别交AO、BO于点E、F，则EF为求作的直线．

图10

如图10，作OM=ON；连接PM；以P为圆心，MN为半径作弧，以N为圆心，MP为半径作弧，两弧交于点Q；作直线PQ分别交AO、BO于点E、F，则EF为求作的直线．

图11

图12

上述三种作法是先保证两线段相等的基础上，再保证直线过点P，即通过作平行线的方式获得，图6中两个条件是并列关系，故我们也可以先保证直线过点P，再保证两线段相等．如图11，过点P作PM∥OB，交OA于点M；以M为圆心，MP为半径作弧交OA于点E；作直线EP交OB于点F，则EF为求作的直线．

图13

线段OE=OF等价于∠OEF=∠OFE，由图5分析可以得到已知∠O是等腰三角形的顶角，∠OEF，∠OFE均为该等腰三角形的底角，由等腰三角形的知识，∠OFE可以用∠O表示为两种形式．

图14

图15

如图13，作∠EPO=∠QOM，由同位角相等，两直线平行，得到EP∥QO．

如图14，在OQ上任作点Q，连接PQ，并作出中点G，连接OG并延长至点M，使得MG=OG；作直线MP分别交AO、BO于点E、F，由对角线互相平分的四边形是平行四边形得到MP∥QO．如图15，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到MP∥QO．

图16

从特殊线段角度，笔者也得到了一种作法：如图16，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N；延长NP至点Q；作∠QPM的角平分线PE；直线PE交OB于点F，则EF为求作的直线．

3 反思

尺规作图是研究几何问题不可缺少的环节和方法，可以训练学生严密的逻辑思维能力，培养学生的严谨的工作态度．本题入口宽，方法多样，但最后全区的得分率却低于0.4，究其原因，其一教材在编写时把尺规作图的内容分散到各个章节中，没有单独地整理，学生缺乏系统性．二是部分教师理念陈旧，操作程序多是“直接告诉”，不讲尺规作图的意义，忽视说理和证明，导致学生对尺规作图的理解不够，不利于学生的发展．

尺规作图可以作为把外部操作活动转化为内部思维活动的问题载体．课标提供了五个基本作图，一般的作图问题就是转化为若干个基本作图来实现，所以要关注基本作图，提高作图技能训练，学生不仅要知道作图的步骤，而且要能知道实施这些步骤的理由，充分让学生动手实践、自主探索与合作交流，思维暴露的过程，在讨论中不断思考，多角度对问题进行强化，循序渐进，由浅入深，由单一到综合，渗透图形变换的思想．方法从多样化向优化延伸，完善知识结构，丰富解题经验，加深对数学本质属性的理解．对于复杂作图，要厘清尺规作图的一般方法：在理解题目的基础上画出草图，把综合法与分析法结合，分析作出的图形满足条件必须符合相应的特征，再进一步思考满足这种特征的图形通过怎样的基本作图获得．