宋环环

【摘要】 数形结合思想是将抽象的数学语言用具体的图像表示的思想方法，描述的是数与形之间的关系.是在数学学习过程常用的思想方法.学生在思考问题时，将“数”与“形”结合，化抽象为具体，使问题变得简单化.

【关键词】 数形结合;3+4班;职业学校

一、“3+4”班及教学背景

笔者所教的班级是“3+4”班，这个班是在笔者所在职业学校读三年专科，再通过参加统测考试、单招考试重重选拔后，步入对口单招的本科学校.意味着他们比其他专科学校学生更有进入本科的优势.但是如果数学统测不过，或者单招考试不过，就意味着他们只是中专学历，所以数学统测考试、单招考试对他们来说相当重要.

虽然他们是专科生，但是他们也是中考层层选拔后的落后生.基础不是很好，有的偏科严重，尤其是女生对数学不是很感兴趣，逻辑思维能力不强，那么在数学课堂上数形结合思想在解决一些抽象问题上就显得尤为重要.

二、数形结合思想及其作用

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想将“以形助数，以数解形”，使得复杂的问题通过具体的图像表示，让学生解题更为灵活，同时也增强了学生的自信心.

三、数形结合思想的原则

数形结合思想的原则有：简单性原则、等价性原则和双向性原则，即要求使用结合思想时，不管使用代数方法还是几何方法，学生要挑选比较简单的方法，且数与形的转化是等价的，不仅要从直观的图形分析还要学会从代数角度分析，使得方法相辅相成.

四、数形结合在“3+4”班数学中的应用

（一）解决集合问题

在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了.

图中阴影部分表示集合A与集合B的交集，记为A∩B

图中阴影部分表示集合A与集合B的并集，记为A∪B

例1   已知U={x|x取不大于20的质数}，AU，BU，且A∩（CUB）={5，13}，（CUA）∩B={11，19}，（CUA）∩（CUB）={3，7}，A∩B={2，17}，求集合A和B.

分析  由题意知U={2，3，5，7，11，13，17，19}，

A∩（CUB）={5，13}，则5和13在集合A中，

（CUA）∩B={11，19}，则11和19在集合B中，

（CUA）∩（CUB）={3，7}，则3和7在集合A，B之外，

A∩B={2，17}，则2和17在集合A与B的公共部分中，

综上所述，如图所示，

A={2，5，13，17}，B={2，11，17，19}.

（二）解决函数问题

通过函数的解析式以及函数的性质，用函数的图像来刻画函数中变量之间的变化关系.学生观察图像找到函数的性质，而通过函数的性质又是画图的关键.解决函数问题中，使用数形结合的方法，往往是解题的突破口.

例2   求方程x2+4x+6= 6 x 的解的个数.

解  函数y=x2+4x+6与y= 6 x 的图像如图所示，

则通过图像观察得两函数图像只有一个交点，

即方程x2+4x+6= 6 x 的解的个数，即为函数y=x2+4x+6，y= 6 x 的图像的交点个数，

根据图像得交点个数是1，故原方程有1个解.

分析  此题左边是一个二次函数的解析式，左边是反比例函数的解析式，而如果用正常的解题方法，对学生来说比较困难，有的学生会将式子两边分别乘x，化成x3+4x2+6x=6就得到一个3次的方程，学生只学过一次、二次方程根的问题，无疑把问题复杂化了.而如果转换思路，用数形结合思想，分标画出二次函数与反比例函数的图像，学生可通过图像比较迅速地找到答案，这样使得问题简单化、解题方法也更加灵活.

因此，数形结合是一种极富数学特点的信息转换方法，许多数量关系方面的抽象概念和关系式，若赋之以图形意义，往往变得非常直观形象，并使关系明朗化、简单化.

（三）解决三角函数问题

有关三角函数的值域、定义域以及单调区间的问题，常常通过画三角函数的图像来解决.

三角函数 y=sinx y=cosx y=tanx

图像

定义域 （-∞，+∞） （-∞，+∞）  nπ- π 2 ，nπ+ π 2

值域 [-1，1] [-1，1] （-∞，+∞）

例3   求函数y=lg（sinx-cosx）的定义域.

解  画三角函数图像如下：

由图像知sinx>cosx在一个周期内的解是x∈  π 4 ， 5π 4  ，所以y=lg（sinx-cosx）的定义域是x∈  π 4 +2kπ， 5π 4 +2kπ ， k∈ Z .

分析  此题主要考查了对数函数的性质、正弦函数、余弦函数的图像性质，如果不通过图像，学生很难去求sinx>cosx的范围.所以本题通过具体的函数的图像让学生化抽象为具体，使得解题更加简单.

五、结 语

通过两年“3+4”班教学工作上的点点滴滴，发现数形结合思想不仅有助于问题的简单化、提高学生解决问题的能力，而且还使得少部分学生对数学产生了兴趣.使得数学教学在我们这样的一个职业学校变得轻松一些.今后会在课堂上以及数学的应用中引导学生发散思维，灵活运动用数学结合思想.

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