刘仁道

首先思考教材上一个习题：如果四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，那么这个四边形的两条对角线互相垂直.我们发现这个命题的逆命题是真命题，而且容易证明，但要证明这个命题用常规方法难于下手，不妨设想用解析法证明.

建立直角坐标系，以一条对角线BD所在的直线为x轴，过一个顶点C与BD垂直所在直线为y轴.只需证明满足条件的四边形ABCD的顶点A在y轴上即可（原点除外）.可设B（-b，0），C（0，-c），D（d，0），A（x，y）.∵AB2+CD2=BC2+AD2，

∴（x+b）2+y2+d2+c2=（x-d）2+y2+b2+c2，整理得x（b+d）=0，∴x=0，

顶点A在y轴上，即AC⊥BD.用平面几何知识比较难于证明，而用解析法证明简洁明了.在高中数学中有些用常规方法难于解决的问题有时可从解析法的角度去思考.

解析法是用代数方法研究几何问题（包括空间的立体图形），通过建立适当的坐标系把几何问题转化为代数问题，通过适当的代数运算，最后回到几何问题.解析法的考查在高考中都保持较高比例，并达到必要的深度，举几例，抛砖引玉.

一、遇动点，求最值问题

遇动点，通过建系得出动点的轨迹方程，进而建立函数式求最值.

例1   已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c且c=10， cosA cosB = b a = 4 3 ，P为△ABC内切圆上的动点，求P到顶点A，B，C的距离平方和的最大值和最小值.

解  由 cosA cosB = b a 及正弦定理有 cosA cosB = sinB sinA 进而推出A+B= π 2 ，∴△ABC是直角三角形.

可知a=6，b=8，c=10，△ABC内切圆的半径为r= 1 2 （6+8-10）=2.

建立如图坐标系，则圆的方程为（x-2）2+（y-2）2=4，设圆上 动点P（x，y），

则Z=|PA|2+|PB|2+ |PC|2=（x-8）2+y2+x2+（y-6）2+x2+y2=3x2+3y2-16x-12y+100=3[（x-2）2+（y-2）2]-4x+76=3×4-4x+76=88-4x.

∵P在内切圆上，∴0≤x≤4，则Zmax=88-0=88，Zmin=88-42=72.

另解  还可以利用圆的参数方程求解，设内切圆的参数方程为 x=2+2cosα，y=2+2sinα （0≤α≤2π）.

圆上动点P的坐标为（2+2cosα，2+2sinα）.

Z=|PA|2+|PB|2+|PC|2=[（2cosα-6）2+（2+ 2sinα）2]+[（2+2cosα）2+（2sinα-4）2]+[（2+2cosα）2+ （2+2sinα）2]=80-8cosα，由0≤α≤2π，∴Zmax=80+8=88，Zmin=80-8=72.

二、涉及向量的运算

可以考虑通过选择适当位置建立直角坐标系后，找出关键点坐标，把向量用坐标表示，向量的运算化为坐标运算，能使问题的解决达到化繁为简的目的.

例2   已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，CD上，BE=λBC，DF=μDC，若AE ·AF =1，CE ·CF =- 2 3 ，则λ+μ= .

解  建立如图直角坐标系，故A（0，1），B（- 3 ，0），C（0，-1）， D（ 3 ，0），∴BC =（ 3 ，-1），∴BE = （ 3 λ，-λ），BA =（ 3 ，1），

∴AE =BE -BA =（ 3 λ- 3 ，-λ-1），同理CE =AE -AC =（ 3 λ- 3 ，-λ+1），

DC =（- 3 ，-1），∴DF =（- 3 μ，-μ），则AF =DF -DA =（- 3 μ+ 3 ，-μ- 1），

CF =（- 3 μ+ 3 ，-μ+1）.由题意AE ·AF =1，CE ·CF = - 2 3 ，解得λ= 1 2 ，μ= 1 3 或λ= 1 3 ，μ= 1 2 ，∴λ+μ= 5 6 .

三、空间中求角

两个二面角的平面角不容易构造出来时，通过建系分别求出两二面角的法向量，两法向量的夹角或补角的大小即为二面角的平面角.还可以求直线与平面所成的角等问题.

例3   在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点.（1）证明EF∥平面SAD;（2）设SD=2DC，求二面角A-EF-D的大小.

证  （1）略.（2）设DC=a，SD=2a，建立如图空间直角坐标系.A（a，0，0），E a， a 2 ，0 ，D（0，0，0），F 0， a 2 ，a .设平面AEF的法向量 n =（x，y，z），AE = 0， a 2 ，0 ，AF = -a， a 2 ，a .

由AE · n =0，AF · n =0，∴ a 2 y=0，-ax+ a 2 +az=0，

取z=1，∴ n =（1，0，1）.設平面DEF的法向量 m =（x，y，z）.设DF = 0， a 2 ，a ，DE = a， a 2 ，0 .由 m ·DF =0， m ·DE =0，∴ a 2 y+az=0，ax+ a 2 z=0，∴y=-2z，y=2x取y=-2，∴ m =（1，-2，1）， m · n 的夹角即为两平面所成的角cosθ= 1×1+1×1  2 · 6  =  3  3 ，θ=arccos  3  3 .从以上几例可以看出解析法能使解题思路清晰，流畅，运算过程简单.解析法属方法的范畴，更多的带有思想、观点的属性，表现为数学观念.在教学中一般比较关注教材中具体的知识内容（陈述性知识），而忽略教材中那些无形的，没有文字描述的东西，即知识之间内在联系和思维过程，亦即所谓“程序性知识”的教授.阐述那些无形的东西比阐述有形的东西更重要，也更能体现教师对学生的价值.如果过于强调各个知识之间的相对独立性，过于强调对已有结论的记忆，不能将教材有关内容视为一个发展的过程和有机的整体，抓不住知识之间的内在联系，就会导致相关知识之间相互割裂，从而影响学生思维过程和思维能力的培养和训练，学生也就很难举一反三、融会贯通.