张陈曦,何 永,吴胜权,周君涛,蒋潇蓉,郁家耀

(南京理工大学 机械工程学院， 南京 210094)

无后坐炮是一种特殊火炮，利用射击过程中火药燃气经炮尾喷管的反作用来消除炮身的后坐，是一种良好的单兵作战武器。李春雷等[1]介绍了瑞典古斯塔夫无后坐炮弹药的结构原理和性能特点；肖剑等[2]对古斯塔夫无后坐炮几种弹药引信做了详细比较；吴胜权等[3]基于混合装药建立了无后坐炮的内弹道模型并对内弹道性能进行测试。

本文研究的是某滑膛式无后坐炮的弹丸转速。在使用如增程破甲弹这种发射速度较高的弹丸时，为满足弹丸飞行稳定性要求，常使用张开式的尾翼结构[4]。为使折叠的尾翼在出炮口后张开到位，需对弹丸附加一定的转速。涡轮尾翼弹弹尾处的涡轮可以利用无后坐炮后喷气体的作用力，赋予弹丸相对膛线炮较低的转速，既使尾翼受转动的离心力张开，又增强了弹丸的破甲伤害。故需对弹丸转速规律进行分析，优化弹丸转速。

1 无后坐炮内弹道模型

假设火药燃烧服从几何燃烧定律；火药的燃烧速度与压力成指数函数关系；膛压采用平均压力；在射击起始阶段，喷口打开压力和弹丸的起动压力相等；在射击过程中没有未燃完的火药随火药气体从喷口喷出；在整个射击过程，火药气体的成分始终保持不变。

基于以上假设，本文研究的无后坐炮内弹道方程组共包括几何燃烧定律、燃烧速度方程、弹丸运动方程、弹丸行程方程、气体流量方程、气体状态方程和能量平衡方程[5-7]，表达式为：

(1)

式(1)中：ψ为火药已燃百分比；χ和ζ为火药的形状特征量；z为火药相对已燃厚度；e1为火药弧厚的一半；u1为火药燃速系数；P为内膛的平均压力；v为弹丸运动速度；m为弹丸质量；S为无后坐炮内膛面积；φ1为弹丸运动的次要功系数；ξ为弹丸行程；η为相对气体流出量；φ2为消耗系数；Sj为喷管喉部面积；a为装药总质量；τ为相对温度；k为绝热指数，θ=k-1；σ为火药力；ξ0为药室容积缩颈长；Δ为装填密度；ρ0为火药密度；Vα为火药气体余容。

2 涡轮尾翼弹转速的推导

2.1 涡轮尾翼弹

滑膛式无后坐炮使用的涡轮张开式尾翼弹由战斗部、尾杆、尾翼片和涡轮等部件组成(见图1)。涡轮是有数片(常为4片)斜置叶片的轮状零件，如图2所示。弹丸尾杆上的尾翼片平时合拢在尾杆翼槽内，当无后坐炮发射时，膛内的火药气体一边推动弹丸前进，一边向后喷流。此时，后喷的火药气体作用在弹丸尾杆的涡轮上，使弹丸产生旋转。当弹丸飞出炮口后，尾翼在弹丸自转的离心力作用下张开[8]，提升了弹丸的飞行稳定性。

图1 涡轮张开式尾翼弹简图

2.2 库塔-儒可夫斯基公式的运用

本文研究的弹的涡轮转速问题与汽轮机的叶片工作原理类似，弹尾部的4片涡轮叶片按一定间距排列构成叶栅，受流体作用下产生运动。假设身管内气体为理想气体，气流不可压缩，且处于一元连续的无旋定常流动，叶片上下表面的膛压相互抵消对涡轮旋转运动不起作用。现建立直角坐标系O-xy，叶栅的结构和流动参数等如图3所示。叶片长度为b；叶片与水平面夹角为β；叶片间距称为栅距，用L表示。

图2 涡轮结构

图3中虚线框ABCDA为叶栅的流场控制面，线段AB与CD平行于y轴，其长度为L，且远离叶栅。取控制体内平均密度为ρ。假设每条线段上流体的速度与压强都是各自均等的，AB上流体受压强为P1，其速度为v1、方向水平靠近叶栅；CD上流体受压强为P2、其速度为v2、方向与叶栅平行远离叶栅，且v2x=v2cosβ、v2y=v2sinβ。AD、CB为相平行的流线，各对应点上的压强分布完全相同，故可不考虑其对控制体内流体的影响。设控制体内流体对单位高度叶片的合力为F，其关于坐标轴的投影为Fx、Fy。

图3 涡轮两侧的流动参数分布

根据叶栅的库塔-儒可夫斯基公式[9]的推导过程，考虑到流体流动的惯性力比重力大得多，可忽略重力的影响，故由连续性方程可得

v1L=v2xL

(2)

由动量方程可得

(3)

由伯努利方程可得

(4)

联立式(2)、式(3)、式(4)可求得作用在涡轮上的阻力Fx和作用在涡轮上的升力Fy。

(5)

由式(5)可知，若得到控制体内平均密度ρ与AB上流体的速度v1，即可得到作用在单位高度叶片上的升力Fy，进而可求得作用在涡轮上的总转矩大小。

2.3 无后坐炮膛内气流参数分析

无后坐炮弹丸发射过程中，弹后空间可看作是半封闭的。假设在弹道周期内，膛内同时存在的气、固二相混合流动看成单一的火药燃气的流动，且认为火药燃气在膛内是均匀分布的。通过运用基于比例膨胀假说的半封闭弹道原理，得出单元火药气体沿弹后空间长度向的速度与加速度成直线分布的规律[10]。如图4所示，沿膛底与弹丸中轴线建立直角坐标系O’-xvx，x为弹后空间内任意具有速度vx的火药气体单元坐标；x=0时为膛底，此时膛底火药气体单元速度为-vkh；l为半封闭弹后空间的长度，当x=l时弹底火药气体单元速度即为弹丸速度v。由此可得到此种在弹后至膛底任意位置处的单元火药气体其x向速度vx的表达式：

(6)

图4 弹后空间内气体速度分布

为了得到vkh的变化规律，由文献[10]中列出以下方程组：

(7)

其中：g为当地重力加速度；Skh、Skp为膛底与弹后任意临界断面的面积；Pkh、Pkp为膛底与弹后任意临界断面的压力；j为弹后空间内气体及燃烧药粒的质量，j=a(1-η)；δ0为弹后空间的平均密度，δ0=j/(STl-VT)，其中ST为弹后空间的截面积，VT为弹后尾杆、尾翼、涡轮的总体积；wkh取弹后空间的平均比容，wkh=1/δ0；

方程组(7)可求出两个vkh值。由于弹丸速度v在图4坐标系O’-xvx下始终大于等于0，而膛底火药气体的速度矢量在此坐标系下一定小于等于0，故式(6)中默认vkh的值大于等于0，故式(7)的vkh解取非负数，膛底实际气流速度应为-vkh。将vkh代入式(6)中即可得到符合坐标系O’-xvx的弹后空间内任意位置处的单元火药气体x向速度。

2.4 弹丸转速公式

流经弹后涡轮的气流速度应由两部分组成，其一为2.3节中介绍的火药燃烧在膛内形成的气流，其二为弹丸运动引起的气体相对涡轮运动的气流。设涡轮的前端至膛底距离为x1(如图4所示)，由式(6)可得到涡轮前端火药气流速度为vx1，弹丸运动引起的相对涡轮运动的气体速度为-v，此时式(5)中应有ρ=δ0，v1=vx1-v，故有

Fy=δ0(vx1-v)2Ltanβ

弹后涡轮可简化为如图5所示涡轮结构视图。叶片单元离涡轮轴心距离为r，叶片底端距轴心r1，叶片顶端距轴心r2。

故单个叶片受总力距为

由图5知，L=(2πr)/4，由此得涡轮受总力矩为

图5 由弹底向弹顶的涡轮视图

由动量距定理，设弹丸关于x轴(如图4)的转动惯量为I，弹丸角速度为ω，忽略弹丸定心部与身管转动接触的摩擦力矩，则有弹丸受转动力矩M为

即

(8)

对式(8)左端关于0～ω进行积分、右端关于0～t进行积分，则有

则弹丸每分钟转速N可表示为

(9)

由式(1)、式(6)、式(7)可求得v、vx1、δ0的一系列关于时间t的数值解，对式(9)应用数值积分法可最终求解得弹丸转速N。

3 弹丸转速的仿真与分析

本研究以某无后坐炮为例，其口径为82 mm。涡轮尾翼弹的叶片长度b为15 mm，叶片内径2r1为38 mm，外径2r2为72 mm。依据第1、2小节列出的公式，并利用软件Matlab进行数值求解[11]，可得到式(9)中的弹丸每分钟转速N。

图6为涡轮叶片与水平面夹角β为30°与33°时弹丸转速随时间变化规律，图7为两种叶片角度弹丸的角加速度α，图8为身管膛内平均压力值随时间的变化规律，图9为未考虑弹丸运动影响的涡轮前火药气体单元速度vx1、考虑弹丸运动影响的涡轮前火药气体单元速度v1、膛底火药气体单元速度vkh。

图6 弹丸在不同叶片角度下的转速

图7 弹丸在不同叶片角度下的转速的角加速度

图8 弹后平均压力变化

图9 气体单元速度比较

从图6中可以看出，弹丸转速随时间逐渐增加，弹丸在整个膛内运动阶段叶片β角大的其角速度相对大。计算的弹丸出炮口转速与实验数据结果如表1所示，实验结果与数值计算值较为接近。

表1 计算的弹丸出炮口转速与实验结果

工程实践中，此种涡轮尾翼弹的转速在800～1 000 r/min时，既能保证尾翼顺利张开，也保证了弹丸的破甲伤害。在此转速范围内，涡轮叶片的角度由式(9)可逆推得到设计为29.1～34.7°较为合理。

图7所示的弹丸的角加速度先增大后减小直至区域平缓，在2 ms附近，弹丸达到最大角加速度，这与图8所示的膛压达到最大值的时间较为接近。由图9可知作用在涡轮上的气流始终沿图4坐标系负x向流动，气流速度变化率先增大后减小，亦与图6所示弹丸转速变化相符。

4 结论

所得数值计算结果与实验测得转速较为接近，可为按转速要求设计涡轮尾翼弹进一步优化弹丸转速提供依据。