李 硕 李 刚 马园媛 王 力⋆

（1.昌吉学院数学系 新疆 昌吉 831100；2.昌吉州第一中学 新疆 昌吉 831100）

引言

核心素养是个人终身发展、融入主流社会和充分就业所必需的素养的集合。核心素养聚焦的是“全面发展的人”，而学生发展核心素养是指“学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”。［1］运算能力作为数学最重要的核心素养之一，是学生发展所必须具备的关键能力。运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力，培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。［2］

《中学数学解题研究》课程作为高校数学系师范生学习的一门必修课，对培养师范生的教学能力有很大的帮助和显著的效果。《中学数学解题研究》不同于中学数学系统复习，更不是例题、习题的堆积。而是中学数学主要知识点的深化，整个课程把运用数学逻辑方法和研究解答数学问题的策略、方法作为核心内容。［3］一名优秀的数学教师应该有扎实的数学理论基础，敏捷而合理的数学思维素质以及良好的数学解题能力，包括对解题过程的自我反思能力和流畅的数学表达与交流的能力，由此可见，解题的意识、能力和修养是数学教师专业素养的重要组成部分。［4］

训练有素的运算能力使得解题速度更快，准确率更高。毫无章法、盲目随意的运算方式，往往导致错误百出，事倍功半。优秀运算能力的形成，不是一朝一夕，一蹴而就的，需要用科学的方法加以引导，要明确每种运算的算理，养成“有章有法”的运算习惯，以达到提高运算能力的目的。

1 从整体到部分，优化解题

低效算法：先算分式的乘方，所有分子分母分别两两同时约分，再按从左往右把分子分母分别乘到一起。

此案例是昌吉州某中学期末考试试题，我们在考后的《学习导报》做了如下的点评：

大部分学生先算乘方后直接约分，然后再分子分母分别乘到一起。由于有多次累加约分，加之有些学生字迹不清，因此失误率很高；

有很多学生第二个因式乘方后丢掉了“－”号，有的即使有“－”号，也不打括号；

出错的学生有三分之一是最后结果丢掉了“－”号。

比较讨论：在分子分母是单项式的分式乘除运算时，先整体乘得一个分式再进行约分。对于分式中分子分母是单项式的课堂教学中我们提倡的优化解法，即先从整体上将所有分式分子分母分别相乘，使积的分子分母变为单项式，此时同底数幂的相除关系则很显然，然后在从部分着手，对每一个字母进行约分，准确率便会高很多。在进行两个班的统计中，采用优化算法“先乘再约”的有65人，其中正确41人，正确率约为63%；采用低效算法“先约再乘”的有22人，其中正确13人，正确率约为59%。

分式是代数式的延伸，与整式、分数、函数、方程和不等式都有密切的联系。在分子分母都是单项式这一类型的问题中，师范生学习时不但要自己能够快速准确地进行化简计算，而且要明确在以后的教学过程中要让所教学生注重使用优化算法的解题策略，达到事半功倍的效果。

2 灵活运用运算性质，优化解题

案例2.计算(3x3y2z-1)-2(5xy-2z3)2

对于整数指数幂的乘除运算，我们遵循幂的运算性质最后将其化成分式。让我们回归教材，通过教材分析，仔细研究课本上有关知识体系安排。本章节内容以正整数指数幂的运算性质为开始，然后通过演绎推理得出0指数幂和负整数指数幂的概念，随后思考“引入负整数指数和0指数后，am⋅an=am+n（m，n是正整数）这条性质能否推广到m，n是任意整数的情形？”经过归纳推理得出结论：“随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，前面提到的运算性质也推广到整数指数幂”。接着给出四道例题，都是先按照幂的运算性质，最后再用负整数指数幂的性质化为分式，并以归纳整数指数幂的运算性质（也可以看成公式）作为结尾。

比较讨论：可以看出，如果按照常规方法将整数指数幂化为分式，继而将其化简，最终通过计算得出结果。这样的计算没有问题，但是通过学生对幂的运算性质的深入理解与灵活运用，就可以将有负整数指数幂参与的“幂的运算”作为重点，幂的运算性质是整个运算过程的基本框架。理解到这个深意，我们就会自觉遵循这里的“优化解法”，能够很好避免运算的盲目性。

幂的运算性质是中学学习的重点内容，也是联系初高中学习的纽带，在高校的学习中也尤为重要。在解决解题训练时，师范生要注重认真审题，不盲目照搬运算法则，而是灵活解题，并在以后的教学中要注重落实灵活运用解题方法，优化运算的解题策略。其实解题主要是培养思维能力，而不是套用现成的结论，所以知识并不需要非常之多，重要在于灵活运用。［5］

3 化繁为简，优化解题

此案例题是昌吉州某中学初中数学期中考试题，我们通过两个班统计发现，采用低效算法的有49人，其中正确35人，正确率为71%；采用优化算法的有48人，其中正确39人，正确率为81%。

比较讨论：低效算法是“先分别化简再乘除”，整个运算过程既繁琐又冗长，式子变换频繁，很容易出错。优化解法是“先乘除最后再开方”，把各二次根式中的被开方数集中统一处理，减少了运算变换次数，节约了运算时间，避免了可能出现的错误。对于含有二次根式乘除形式的混合运算，师范生在解题中要注意采用先乘除后开方化简的方法，并在以后的教学中指导学生重视化繁为简，优化解题的策略来进行学习和解题。

4 挖掘教材例题，优化解题

不论是老师的课前备课，还是学生课上的自主探究，除了关注课本上的知识内容外，还应该深挖例题解题过程的细节。在教学中，我们常常按照例题学习的“四步曲”，即“例题上面怎样解？——为什么这样解？——还可以怎样解？——我们怎样解？”，指导学生归纳提炼、明确算法。在课堂上不仅要注意听讲，仔细观摩优化示范，后续练习时更要自觉落实纠错，改变自己“不管方法只要算对就行”的粗放意识。

5 结语

师范生的培养目标是服务于中小学教育教学，一名合格的师范生不但要自己能够有较强的运算能力，还需要注重培养所教学生的运算能力。2017版高中数学课程标准提出六大数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析，其中“运算能力”是学生所有数学素养形成的基础。我国的数学教学具有重视基础知识、基本技能训练和能力培养的传统，新世纪的高中数学课程应发扬这种传统［6］。运算能力不是一朝一夕可以培养起来的，需要在日常的教学中不断加以分析和引导。师范生自己也要学会深挖教材中的算法内涵，并在未来的教学中注重教会学生从整体观察到部分运算，并能够灵活运用运算性质，化繁为简的解题策略，以达到优化解题的目的。