徐 青，陈佳宝，田斌斌

(中国舰船研究设计中心，湖北 武汉 430064)

0 引 言

现如今，船舶行业能源成本日益增加，且能效设计指标（EEDI）对CO2排放严格控制，经济性以及节能环保在船舶设计领域的重要性日益增加。造船工业迫切需要在满足最小工艺和运营成本的前提下，找出制造更加节能环保船舶的技术和方法，比如船型优化技术、使用节能设备和可再生能源[1]。其中，船型优化技术通过集成船舶几何自动重构、CFD以及最优化技术，设计出一定条件下阻力性能及其他性能最佳的船型，对于船舶的节能降耗具有重要意义[2]。对于水面舰船，船型优化不仅能降低燃油消耗，而且能够提高舰船快速性，为水面舰船的战斗力提供重要保证。

随着计算机技术的飞速发展以及数值计算理论的不断完善，计算流体力学（CFD）得到了蓬勃发展。得益于此，基于CFD技术的船型优化在船舶设计领域的应用也日益广泛和深入。基于CFD的船型优化利用CFD对设定的优化目标（船舶水动力性能）进行数值计算，同时利用优化算法和船体几何自动重构技术对船型设计空间进行探索，最终获得给定约束条件下性能最优的船体外形。虽然CFD技术的发展为船型优化研究带来了很大进展，然而船型参数数目过多的问题限制了其进一步的发展。在使用参数化方法时，为了精确表达船体的几何外形，需要用到大量的船型参数，这无疑大大增加了计算成本和时间成本。因此，需要在满足设计精度的前提下，找到筛除船型参数，降低设计空间维度的方法。而敏感度分析为多维设计空间的降维提供了有效的解决方法。

敏感度分析主要用于定性或定量地考察输入变量变化对模型输出影响程度的大小[3]。它可通过对影响输出变化较大输入参数的分析，从最终模型中去除不重要的参数，简化模型。这一点应用于船型优化过程中，就可通过对基于船型参数和船舶性能建立的模型进行敏感度分析，分析各参数对船舶阻力及耐波等性能的敏感度，从而在保证精度的前提下在模型中去除敏感度值较小的参数，降低船型优化设计空间的维度，进而降低船型优化的计算成本及时间成本。

1 敏感度分析方法

敏感度分析主要研究各个输入参数对输出的影响以及输入信息变化对模型本身的影响程度。各个研究领域研究对象、研究目的以及研究环境有所不同，因此所采用的敏感度分析方法也会有所区别。为了准确选取最合适的敏感度分析方法进行相应科学研究，需要对敏感度分析方法进行必要了解[4]。

敏感度分析方法有很多分类标准：按照其执行形式，可分为局部敏感度和全局敏感度分析方法；按照其分析手段，可分为数学、统计和图形法；按照其分析原则，可分为定性筛选方法和定量排序方法等[5]。表1展示了敏感度分析的各种分类方法，以及各种方法的描述和特点。

而在这些分类方法中，最常用的还要属局部分析法和全局分析法。本文将以此分类对敏感度分析方法进行简要介绍和分析。

1.1 局部敏感度分析方法

局部敏感度分析方法是指在分析的过程中，每次只有被研究的输入变量发生变化，而其余输入变量保持在经验值的敏感度分析方法。这一类方法的敏感性指标为输出变量对输入变量的微分或者输入变量的变化对输出变量的影响。相比于全局敏感度分析，局部敏感度分析计算速度要快得多。但它也有一些局限性，比如要求输入变量在中间值处的变化不能过大；要求输入变量和输出变量的关系需要假设为线性关系；要求所有输入变量具有相同的变化范围。本文主要介绍3种常见的局部敏感度分析方法。

1.1.1 有限差分法

有限差分法是最简单的局部敏感度分析方法，它的基本原理为通过输入变量的微小摄动Δxi，利用差分计算输出变量对输入的近似微分。较为简单的方法是采用向前差分格式：

有限差分法原理较为简单，便于应用，但其计算量较大。

1.1.2 直接微分法

已知模型的微分方程为：

表 1 敏感度分析方法分类Tab. 1 Classification of sensitivity analysis methods

或通过矩阵形式表示为：

式（4）的求解需已知J和F的值，而矩阵的值由变量的值决定，因此需要已知或求得式（3）的解。

直接法最适合应用于结构简单、变量较少、敏感度方程不难求得的模型，可快速简便地求出其敏感度。

1.1.3 格林函数法

式（3）关于初值y0的方程为：

式（4）为非齐次线性微分方程，可先求式（6）的齐次解，再求特解：

式中，X为格林函数，基于式（7）解的敏感度分析方法称为格林函数法。

随着设计变量的增加，直接微分法的计算量线性增加，而格林函数法的计算量与设计变量数成一定比例关系。

1.2 全局敏感度分析方法

全局敏感度分析方法是指在分析的过程中，每次不仅被研究的变量会发生变化，其余变量也会发生相应变化，不仅分析多个输入变量的变化对输出的影响，并且分析多个输入变量的交互作用对输出的影响。它被称为全局分析法的主要原因为：1）该方法考虑了所有输入变量的概率分布影响；2）该方法考虑了所有变量同时变化的影响。相比于局部敏感度分析法，全局法输入变量的变化范围可延伸至整个定义域，所有输入变量可具有不同的变化区间且能同时发生变化，而且该方法对系统模型没有要求，非线性、非叠加以及非单调模型都可进行分析，具有更大的探索空间以及更准确的敏感度值预报能力。本文主要介绍几种常见的全局敏感度分析法。

1.2.1 筛选法

筛选方法的目的是确定哪些输入变量对高维模型的输出不确定性有重大贡献，而不是精确地量化敏感度。筛选法中最简单的是OAT法（one-at-a-time）[6]，而最常用的OAT筛选方法之一是Morris筛选方法或由Morris（1991年）提出并由Campolongo等（2007年）改进的基本效应方法。参数取值为离散数值，这与其他参数值直接来自分布的全局敏感度分析方法不同。对于给定的，第i个参数的基本效应定义为：

式中：Δ 为{1/（p-1），...，1-1/（p-1）}中的值；p 为等级数目；y（X）是参数X的目标函数值。2个敏感性度量均值μ和标准差σ可通过式（9）和式（10）求得：

式中：di（j）为使用第j个基本采样点输入i的基本效应，j=1，2，...，r（r是参数空间中采样点的重复采样设计的数量）。当模型非单调时，一些具有相反符号的基本效应可能被抵消。因此，Campolongo等（2007年）提出了一项改进措施μ*[7]：

μ用来评估每个参数对输出的总体影响，σ用来估计高阶效应，如非线性和输入之间的交互作用。如果与0相差很多，则表明参数i对输出具有较大的整体影响。σi的值大意味着参数i对输出具有非线性效应，或者参数i和其他参数之间存在交互作用。

1.2.2 回归分析法

回归分析法是采用数理统计分析输入输出的非确定关系的方法。它可通过仿真得到的数据对输入输出关系进行拟合，然后根据拟合结果以及拟合过程进行敏感度分析。该方法适用于分析具有线性关系的系统的敏感度。

线性模型可通过以下方程表示：

其中：

利用SRCs确定敏感度时，需对模型系数加以确定，而且需要对判定系数R2进行分析，以保证模型拟合的合理性。

1.2.3 基于方差的方法

基于方差的方法使用方差比来估计方差分解基础上参数的重要性[9]。通常，模型输入参数及其交互作用对总输出方差的影响，可通过以下公式表示[10 – 11]：

式中：V为模型输出的总方差；Vi表示每个因子xi（Vi=V[E（Y|xi）]）的 1 阶方差和 Vij（Vij=V[E（Y|xi，xj）]-Vi-Vj）到V1...k表示因子之间相互作用产生的方差。条件期望的方差V[E（Y|xi）]有时被称为主效应，用于表示xi对Y方差的显著性。基于方差的方法允许计算2个指标，即对应于参数xi的1阶敏感度指数：

以及单个参数（指数i）的全阶敏感度指数以及涉及指数i和至少一个指数j≠i（从1到k）的更多参数的相互作用：

1阶和全阶敏感指数之间的差异可以看作是单个参数与其他参数之间相互作用的一个度量[12]。因为相互作用随着考虑的参数数量以及变化范围而增加，所以方差分解方法非常适合于具有许多参数的模型。有许多方法进行方差分解，如Sobol方法，傅里叶振幅敏感度测试（FAST）和扩展的FAST方法。

1.2.4 代理模型法

代理模型方法的基本思想是通过各种统计或实验设计方法，模拟输入参数与模型输出之间的响应函数，取代原有的、复杂的物理或概念模型，然后分析参数敏感性指标或影响模型输出的参数变化。基于代理模型方法的核心是选择合适的采样设计和响应拟合方法。当选择响应拟合方法时，代理模型方法可以准确地模拟真实现象在影响参数范围内的行为，即代理模型可以通过数学近似代替原始模型。

基于代理模型的方法是一个两步的方法：1）基于原始模型和数据建立一个代理模型；2）基于经典的敏感度分析方法计算敏感性度量，其中最常用的方法是基于方差的方法[13]。该方法的直接优势是可以简化计算密集型模型，从而使模型运行速度更快，特别是对于成千上百模型运行的高计算成本模型。

1.2.5 基于熵的方法

熵可以被看作是信息含量的一个指标，或作为随机变量不确定性的度量[14]。 它也提供了相对较多的信息，因为没有互信息的2个变量在统计上独立，而2个不相关的变量不一定独立。不同的熵指标已经被描述在一些研究中，如边际、联合、条件和互信息等评估一个非独立变量和一个独立变量之间的关系。互信息被用作许多领域中变量重要性的指标。Mishra和Knowlton（2003年）描述了一种将互信息概念与应急表分析相结合的全局敏感度分析方法[15]。

表 2 全局敏感度分析方法比较Tab. 2 Comparison of global sensitivity analysis methods

基于熵的方法主要优点是通过研究输入变量对概率分布的影响，而不是基于方差的方法对性能方差等低阶矩的影响，可以获得更完整的概率敏感信息。但是，值得注意的是，基于熵的方法只能给出随机变量的相对重要性排序，而且度量的绝对值难以解释，这是基于熵的方法的主要局限性。

2 敏感度分析在船型优化领域的研究现状及发展方向

敏感度分析虽然兴起时间较早，在许多科研领域应用广泛，但其在船舶领域的应用时间较晚，而且主要集中在船舶结构设计、耐波性和操纵性领域，真正用于船型优化领域的研究较少。因此，本文将首先介绍敏感度分析在船舶领域的应用，然后着重对其在船型优化方面的应用进行分析。

2.1 国外研究现状

由于敏感性分析的有效性近几年显著增加，敏感性分析在船舶与海洋工程领域的研究和应用也得到飞速发展。尤其国外的应用起步时间更早，且研究更加成熟，涉及船舶领域的许多方向。

在操纵性方向，2009年，Toxopeus SL等[16]通过敏感度分析评估了操纵性导数的变化对IMO标准操纵的影响；2014年，DH Kim等[17]通过2阶响应面敏感度分析方法分析船体附体对船舶操纵性的影响，分别建立了操纵性能与稳定性指标、稳定性指标与船体附体的关系；2015年，Padilla等[18]通过敏感性分析评估了连续时间转向动力学模型参数的准确性。

在结构方向，2004年，Downes等[19]基于可靠性分析评估了与船体梁极限强度预测有关的随机变量的敏感因子；2009年，SC Kim等[20]对散货船典型结构构件进行了疲劳可靠性和检验的敏感性分析；2015年，Obisesan等[21]基于Sobol′s一阶指数的敏感性分析方法研究了输入变量对船舶碰撞损伤分析中船体板位移值的影响。

在耐波性方向，2002年，N Fonseca等[22]分析了表示船舶运行时间百分比的可操作性指数对不同耐波性标准的敏感性；2005年，SCS Yim等[23]分析了关于次谐波和超谐波共振这2个关键非线性系统参数的敏感度的结果响应。

在其他方向，1999年，TC Spicer[24]通过敏感性分析评估了动态效应对船上累进洪水的瞬态和稳态特性的影响；2001年，YH Kim等[25]对船舶推进轴系耦合的轴向和扭转无阻尼自由振动进行了灵敏度分析，并通过对2艘大型商船的推进轴系进行敏感度分析，验证了该方法的有效性。

然而，与船舶阻力及船型优化相关的敏感度分析研究，在国外公开发表的文献中出现较少，比如2003年，Valorani等[26]根据敏感度公式和伴随方法估算了成本函数梯度，可降低基于阻力最小的船型优化的计算成本；2005年，Justus Heimann[27]通过摄动法利用转换矩阵对船型优化变量对波形、自由波谱以及波形阻力的影响进行敏感度分析；2011年，Stück A等[28]应用基于RANS的伴随敏感性分析方法来提高通用集装箱船体设计中尾流场的质量。

2.2 国内研究现状

近几年，国内船舶领域的敏感性分析也得到很大的发展，在船舶领域的应用也较为广泛。

在操纵性方面，2006年，孙建刚等[29]基于三自由度的常系数船舶操纵运动方程，通过仿真Z形操舵试验和船舶回转试验进行敏感性分析，考察了水动力系数、舵的整流系数以及螺旋桨伴流系数对船舶操纵性的影响；2013年，徐峰等[30]通过Z形仿真试验，对Abkowitz模型中粘性类水动力导数进行了敏感度分析，验证了所提出的水动力导数敏感度分析方法的有效性。

在结构方面，2006年，邹春平[31]利用导出的敏感度方程计算外表面振动速度响应对双层隔振系统设计变量的敏感度，考察了设计参数的微小变化对其振动速度的影响；2007年，刘俊梅[32]通过利用中心差分法计算敏感度指数，对破损船体剩余极限强度的影响参数进行了敏感性分析。

在耐波性方面，2009年，周佳等[33]利用Matlab平台分析气垫船重心位置、初始纵横倾角和前后气垫分割围裙位置4个参数对气垫船耐波性的敏感性；2013年，周耀华等[34]通过对3艘集装箱船的参数横摇敏感性分析，讨论了横摇惯性矩的不同计算方法对运动响应预报的影响；2015年，张晓等[35]采用动力学庞加莱图，针对规则波和不规则波分析了船舶横摇幅值对设计变量的敏感度。

在其他方面，有很多相关研究，比如2006年，唐文勇等[36]通过建立舰船综合性能评估框架，利用人工神经网络分析了舰船几个参数的敏感性；2015年，喻曦[37]通过BP神经网络，利用Skeletonization敏感度剪枝方法计算输入节点和隐节点的敏感度，分析了舰船的抗沉性、最大航速、适航性、载重量4个参数对舰船总体性能的影响等。

关于敏感度分析在船型优化领域的应用，近两年，武汉理工大学张恒等组成的团队，在这方面取得了较大的进展。2015年，他们基于径向基神经网络利用回归分析法研究船型主尺度参数对阻力性能的敏感度，得到了主尺度参数的敏感度排序[38]；2016年，他们基于径向基和偏最小二乘回归神经网络，通过样本均匀设计分析了局部特征参数对系列集装箱船的阻力性能的影响，减少了船型优化中设计空间的维度[39]。2017年，他们将基于Kriging模型的TPBF方法和改进的Sobol′s方法用于船型优化，确定了降维的无影响变量，且验证了基于Kriging模型的TPBF方法具有较高的精确性，改进的Sobol方法具有较好的鲁棒性[40]。

虽然武汉理工大学的团队在敏感度分析应用于船型优化这方面取得了一定成就，但总体来讲，国内的敏感度分析在船舶领域的研究相比于国外还有一定的差距，主要表现在以下方面：1）国内的敏感度分析在船舶领域的研究绝大部分还处在应用层面；2）国内的敏感度分析在船舶领域主要采用局部分析方法或者是简单筛选法，而国外更侧重于全局分析法；3）国内在船舶领域的敏感度分析，大多数只能做出定性分析，对敏感度做出排序，而国外倾向于对敏感度做出定量计算。

2.3 敏感度分析在船型优化领域的发展方向

目前，敏感度分析在船型优化的降维方面已做出一定贡献，但其在船型优化中的应用仍然较少，还有很大的发展空间。而且在发展的过程中也存在一些问题，也相应带来了以下这些要求：1）随着CFD技术的发展，CFD仿真及计算能力不断增强，CFD仿真结果逐渐接近于真实试验结果，对于通过敏感度分析降维的需求降低，而是趋向于对重要参数的敏感度分析；2）不同船型特征参数的选取，会带来不同的敏感度分析及优化结果。参数选择过多，会造成计算资源的浪费，参数选择过少，则很难得到可靠的分析结果，因此，特征参数的合理选取显得尤为重要；3）目前在船型优化过程中，约束条件普遍仅局限于主尺度、排水量和湿表面积等。然而在实际应用中，一些船舶比如军船由于总布置等方面的要求，则需要对船型进一步约束；4）不同船型及处于不同的航速段，也会造成不同的优化及分析结果。多种船型及多航速情况下的敏感度分析，可带来较为准确的分析结果，并能验证方法的可靠性。

敏感度分析在船型优化领域的发展方向主要包括以下几个方面：1）将更多先进的全局敏感度分析方法，比如Sobol's、Fast等方法，或将其改进后应用于船型优化；2）由于船型优化设计的参数很多，所以可以先通过筛选法对参数进行初选，然后对剩余参数进行全局敏感度分析；3）虽然现在有很多全局敏感度分析方法适用于船型优化，但各方法具有各自的特点，敏感度分析结果也会有所差异，因此可应用多种分析方法，分析结果可互为验证。

3 结 语

由于船型优化涉及的船型特征参数数目较多，而且随着船体精确化表达的进一步发展，这个数目会日渐庞大，而且各参数之间会存在交互作用，互相影响。因此，将全局敏感度分析方法应用于船型优化，已成为解决限制基于CFD船型优化进一步发展问题的重要法宝。在这方面国外走在了前列，国内的发展和国外还有一定差距。不过可喜的是，国内的一些团队也取得了不错的成果，初步建立了船型优化敏感度分析基本框架。应该继续推进敏感度分析在船型优化中的应用，并努力发展出更加适合船型优化的新型敏感度分析方法，从而进一步降低基于CFD的船型优化的计算成本和时间成本，促进船型优化技术的进一步发展，推动新型船型优化技术快速应用于实际船舶设计工程，提升我国船型创新设计的能力[41]。