吴 晓

（湖南文理学院 机械工程学院，湖南 常德 415000）

连续梁在土木、机械等实际工程中得到了广泛的运用。文献[1]利用临界载荷特征方程研究了任意线弹性支承的双跨压杆稳定性，文献[2]利用梁函数及能量法求得了两等跨刚度不同连续梁的固有频率，文献[3]采用文献[2]的计算方法求得了不等跨两跨连续弹性支座梁的固有振动频率，文献[4]采用固有频率特征方程研究了失谐连续双跨梁结构的振动特性。采用以上方法计算双跨连续梁临界载荷及固有频率的工作量都比较大，但是，采用文献[5，6]的计算方法研究双跨连续梁的弹性稳定及固有振动，可以克服文献[1-4]计算方法的不足。

1  临界载荷计算公式

图1 双跨连续梁

对于图1所示双跨连续梁，假设其在外载荷作用下的挠度函数可用组合三角函数表示为：

式（1）中：a1，a2，a3为待定常数。

参阅文献[7，8]可知，图1所示双跨连续梁的屈曲势能表达式为：

式（2）中：E为弹性模量；I为惯性矩；P为轴向压力。

由于中间支撑位移为：

式（3）中：

利用式（2）、式（3）可构造拉格朗日函数：

式（4）中：η为拉格朗日系数。

3.项目设计的数量要合理且可以量化评分。高职院校的思想政治理论课主要开设思想道德修养与法律基础、毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论两门课程，两门课程的实践教学时数一般为16节。如果每一章都设计一个实践教学项目明显是不合理的，也是不现实的，因此每门课程的实践教学项目的数量应与教学时数相吻合，每门课程四到五个项目即可。实践教学项目的开展虽然尊重学生的主观能动性和自主创新能力，且在项目实现过程中注重分工与合作，但活动开展的效果最终还是要纳入课程的考核体系计算总评成绩的。因此项目的设计要科学合理，对学生在项目实施过程中的表现有比较客观的评价指标体系，能够量化评分。

把式（1）代入式（4）中可得：

2  固有频率计算公式

图1 所示双跨连续梁固有振动时，可设其动位移为：

式（9）中：ω为固有频率，θ为相位，t为时间。

参阅文献[7，8]可知图1所示双跨连续梁固有振动势能为：

式（10）中：m为梁单位质量。

利用式（3）、式（10）可构造拉格朗日函数为：

把振型函数Y（x）代入式（11）中可得：

式（12）中：

利用式（12）可得：

利用式（3）、（13）可得：

式（14）中：

利用式（14）可得：

由式（15）可知图1所示双跨连续梁的一阶固有频率、二阶固有频率计算公式分别为：

3  计算分析

为了分析本文的计算精度，把式（8）的计算结果与文献[7]的计算结果列在表1中，把式（16）的计算结果列在表2中。

表1 临界载荷 P

表2 固有频率

由表1可知，μ=0.5时，本文式（8）的计算结果就是精确解，μ=0.4、0.3、0.2时，本文式（8）的计算结果与文献[7]的精确解误差非常小。即使μ=0.1时，本文式（8）的计算结果与文献[7]的精确解误差也仅为3.69%，没有超过实际工程所允许的误差5%。

由文献[8]可知，最左端与最右端皆为简支撑的连续梁固有振动频率公式为：

式（17）中：i=1，2，…，n；n1=1，n2=1.25；N为连续梁中间支撑个数。

由式（17）可知图1所示双跨连续梁的一阶固有频率、二阶固有频率分别为：

从以上分析可知，本文方法研究图1所示双跨连续梁临界载荷及固有频率，不但计算精度高且计算简便，更易于工程设计人员实际工程中掌握应用。

4  结束语

为了研究图1所示双跨连续梁临界载荷及固有频率，引入拉格朗日系数构造拉格朗日函数，把拉格朗日函数对挠度函数中待定系数求极值，即可求得双跨连续梁的临界载荷及固有频率。此方法不但计算精度高且计算简便，更易于工程设计人员实际工程中掌握应用。