吴 晓

（湖南文理学院 机械工程学院，湖南 常德 415000）

楔形截面梁在空间结构中应用比较广泛。文献[1]讨论了两端固支楔形变截面梁的热弯曲，文献[2]采用求积元法分析了楔形变截面钢-混凝土组合梁弯曲和自由振动，文献[3]研究了剪力对楔形变截面双模量梁弯曲应力的影响，文献[4]研究了考虑剪切效应的旋转FGM从楔形梁刚柔耦合动力学建模与仿真，文献[5]研究了用楔形体解答求解矩形变截面梁及其适用范围，文献[6]研究了楔形梁腹板在弯、剪及局压联合作用下的弹性屈曲，文献[7]研究了交叉梁系结构中变截面杆件的计算问题。由以上文献可知，楔形梁是实际工程中较常见的承载构件。弹性理论采用半逆解法研究楔形梁的弯曲应力是采用多项式进行求解的，存在一题一方法一解的不足，且不能求解复杂外载荷作用下楔形梁的弯曲应力。本文利用剪应力公式研究了楔形梁弯曲正应力的求解，得到了复杂外载荷作用下楔形梁的弯曲正应力公式，弥补了弹性理论的不足。

1  楔形梁弯曲正应力

对于图1所示复杂载荷作用下的楔形梁，可用奇异函数把外载荷表示为如下载荷集度形式：

把式（1）对x积一次分可得梁截面剪力：

图1 复杂载荷作用下楔形梁

把式（2）对x积一次分可得梁截面弯矩：

对于图1所示楔形梁，可把其截面高度表示为：

式（4）中：

利用式（4）可知楔形梁截面惯性矩及静矩分别为：

由材料力学可知，图1所示楔形梁截面剪应力近似公式为：

由文献[8]可知，采用式（6）计算楔形梁截面剪应力已不适用，但是可利用式（6）求得计算复杂外载荷作用下楔形梁截面通用弯曲正应力修正公式。

由文献[9]可知有下式成立：

式（7）中：G为剪切弹性模量；u为轴向位移；u（0）为中性层轴向位移；w为楔形梁弯曲挠度。

利用式（4）～式（7）可得：

把式（1）～式（3）代入式（13）中即为图1所示复杂载荷作用下，楔形梁弯曲正应力修正公式，此弯曲正应力修正公式是通用公式。而弹性理论仅能对单一载荷给出一题一解，存在一定的局限性。

2  算例分析

为了检验式（13）的计算精度，下面以图2所示集中载荷作用下悬臂楔形梁为例，进行计算。

图2 集中载荷作用下楔形梁

由文献[8]、文献[9]可知，h1=0时，图2所示悬臂楔形梁在集中载荷作用下截面最大正应力为：

下面把β、β’随半楔角α变化的数值列在表1中，以便讨论分析。

表1 β、β’的数值（μ=0.25）

由表1可知，本文方法式（16）的计算结果与弹性理论式（17）的计算结果在半楔角α≤ 40°即楔形角度不超过80°范围内吻合得比较好，式（16）与弹性理论式（17）计算误差均没有超过实际工程所允许的误差5%。在工程实际中，半楔角α=40°的楔形梁已经是很少见的了。

弹性理论式（17）仅是图2所示悬臂楔形梁当h1=0时的解析解，而本文给出的式（13）、式（15）则是图1所示在复杂载荷作用下楔形梁的弯曲正应力公式，所以说本文给出的楔形梁弯曲正应力修正公式是通式，本文方法弥补了弹性理论存在一题一方法一解的不足。

3  结论

（1）本文方法给出的楔形梁弯曲正应力修正公式的计算结果与弹性理论方法的计算结果，在半楔角α≤40°即楔形角度不超过80°范围内吻合得比较好，计算误差均没有超过实际工程所允许的误差5%。这说明本文方法给出的楔形梁弯曲正应力修正公式计算精度较高。

（2）本文给出的楔形梁弯曲正应力修正公式是通式，对任意载荷作用下楔形梁的弯曲应力计算都适用，而弹性理论的半逆解法仅适用楔形梁在单一载荷作用下的弯曲应力计算，本文方法克服了弹性理论一题一方法一解的局限性。