宋庆庆 贺兴时 郭 旭

（西安工程大学理学院 西安 710048）

1 引言

布谷鸟算法是2009年YANG模拟布谷鸟的寻窝产卵行为，提出了一种新的智能优化算法，该算法依赖于布谷鸟的巢寄生性和莱维飞行（Lévy flight）搜索原理［1］。布谷鸟算法（CS）有很好的全局搜索能力，但由于它的随机性强造成CS的局部搜索能力相对较弱，在后期优化效率地，因此需要进一步完善［2～4］。拟牛顿法是一种解决优化问题的有效方法，局部寻优能力强，但是拟牛顿算法对初值依赖性大，如果初始选的不合理，很可能造成算法不收敛［5］。目前拟牛顿法已经很好地与粒子群算法［6～7］、蝙蝠算法［8］遗传算法［9～10］、蚁群算法［11］结合。本文结合两算法的优点，在布谷鸟搜索后期可以加入拟牛顿法来优化布谷鸟算法的搜索性能，同时两算法又能相互克服缺陷。

2 拟牛顿布谷鸟算法

2.1 布谷鸟算法

在布谷鸟算法中的三点理想化条件：1）每只布谷鸟一次只产一个蛋，并且随机选择一个鸟窝来存放它；2）最好的鸟窝（解）将会被保留到下一代；3）可用鸟窝的数量n是固定的，鸟窝主人发现外来鸟蛋的概率是 Pα，其中 Pα∈[0，1]。在这种情况下，鸟窝主人可以将该鸟蛋丢弃，或者干脆放弃这个鸟窝，在新的地方重新建立一个鸟窝。在上边三个理想化条件下，布谷鸟根据Levy飞行进行搜索，步长更新公式为

式（1）中⊕表示点对点乘法；式（2）s0表示初始步长。CS的具体操作步骤详见文献［2］。

2.2 拟牛顿法的步骤［12-13］

已知目标函数 f（X）及梯度g（X），终止准则ε。

2）计算搜索方向 dk。做直线搜索 f（X（k）+αkdk）=minf（X（k）+αkdk），求出步长因子 αk，并令xk+1=xk+αkdk。

3）判断是否满足终止条件，若满足则停止，否则转5）。

4）修正Bk产生Bk+1，使得拟牛顿条件成立。5）k=k+1，转至2）。

2.3 拟牛顿布谷鸟算法步骤

2）保留上一代最好鸟窝位置 fmin，利用式（1）、（2）对其他鸟窝进行位置更新，然后得到一组新的鸟窝位置Pt对这组鸟窝位置进行测试，与上一代鸟窝位置Pt-1=比较，让测试值较好的鸟窝位置替代测试值较差的鸟窝位置，从而得到一组较优的鸟窝位置

3）产生服从均匀分布的随机数 r∈（0，1），与布谷鸟的鸟蛋被鸟窝主人发现的概率Pα对比，保留P中发现概率较小的鸟窝位置，对概率较大的鸟窝位置进行随机改变，从而得到一组新的鸟窝位置。将这组鸟窝位置进行测试，与P=的每个鸟窝位置的测试值进行比较，用测试值较好的鸟窝位置替代测试值较差的鸟窝位置，从而得到当代全局最优鸟窝位置

4）以P′为初始位置，采用拟牛顿算法精确搜索目标位置，若达到终止条件，算法结束，并输出最优个体所在的位置，否则返回第2）步。

3 数值模拟

本文比较NQCS和CS对测试函数库中的8个测试函数［14～15］的优化性能。除了 Sphere是单峰函数以外，其他都为多峰函数，测试函数的最优值都为0，如表1所示。种群规模n=25，Pα=0.25，参数β=1.5 ，控制步长α取1，其他参数根据具体情况设定。

表1 测试函数

表2是NQCS和CS的测试结果表，表中的数据是在不同维度下计算函数的平均最优值、标准差、最大值、最小值。首先对与Cube函数、Himmelblau函数、Sphere函数来说NQCS的平均最优值远远小于CS并且计算精度上至少高出2个数量级，Zakharov函数和Zakharov函数甚至高出20个数量级，对于其他三个函数虽然不是很明显但也可看出NQCS的平均最优值结果优于CS的。其次在标准差方面，对于8个函数来说NQCS的标准差也都低于CS可以得出NQCS是比CS稳定的。接着是最大值最小值，发现仍然对于Cube函数、Himmelblau函数、Zakharov函数、Sphere函数、Schwefel 2.4函数NQCS的最值明显小于CS的最值，Cosine Mixture函数、Quintic函数、Ackley函数的最值也是NQCS较小。因此可以初步得出在计算精度上NQCS是优于CS的。

表2 两种算法的测试结果

两个算法在8个测试函数上均独立运行20次，因而在每个测试函数上，每种算法都有20个样本。采用T检验比较分析NQCS和CS的性能。本实验的T检验的自由度为38，显著水平为0.05。P值代表显著性水平，当P小于0.05时，表示NQCS显著优于CS，反之则不显著。

表3 两算法的T检验结果

从表3中NQCS和CS的T检验结果可以看出Cube函数、Zakharov函数、Sphere函数、Quintic函数、Ackley函数、Schwefel 2.4函数P值小于0.01，表明NQCS非常显著的优于CS。Himmelblau函数的P值大于0.01小于0.05，表明NQCS显著优于CS。Cosine Mixture函数的P值大于0.05表明在统计学角度上NQCS是不显著优于CS的。

因此综上所述，NQCS在大部分测试函数上显著优于CS。

4 结语

本文拟牛顿算法和布谷鸟算法相结合，建立了一种混合算法NQCS。先采用CS为BFGS提供一个较好的初始点，然后再用BFGS更进一步搜寻局部精确解。这样既可以避免CS局部精细搜索能力差，又能弥补拟牛顿算法对初值敏感的不足。通过8个基准函数测试其性能，实验结果表明NQCS明显比CS具有更高的收敛精度和更好的全局最优值。