摘 要：极坐标系是构建坐标系的一种方法，然而很多学生由于对直角坐标系比较熟悉，看到题目就马上转化成直角坐标系下进行解题，造成有些题目的运算太过繁琐。因此，教会学生恰当选择坐标系进行解题，就变得非常重要。

关键词：极坐标系；极径的几何意义；解题

在学习完直角坐标系和极坐标系的互化之后，有同学就问：既然极坐标都可以化成直角坐标，那不就是所有的极坐标问题都得化成直角坐标才能解决？我们看看下面的例子：

（1）在极坐标系中，已知A2，π6，B3，π6，则|AB|= 。

（2）在极坐标系中，已知A2，π6，B′3，-5π6，则|AB′|= 。

结合极坐标系画图，让学生发现利用ρ的几何意义，可以较快地算出线段AB的长度，由此：过极点的直线上两点A，B之间的距离可以优先利用ρ的几何意义解题。|AB|=|ρA-ρB|。

下面，通过一个例题及两个拓展的选取及解析谈谈在极坐标系中利用极径的几何意义解题的优越性。

【例1】 在极坐标系中，曲线C1：ρ=2sinθ，C2：ρ=23cosθ，曲线C3：θ=α（ρ∈R）。C3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B。

（1）若α=π6，求|AB|的值；

（2）若0≤α<π，求|AB|的最大值。

解：（1）法一：极坐标中曲线C1：ρ=2sinθ，C2：ρ=23cosθ，直线θ=π6与C1、C2的异于极点的交点A、B的极径分别为ρ1=2sinπ6=1，ρ2=23cosπ6=3，所以|AB|=|ρ1-ρ2|=2。

法二：在直角坐标C1：ρ=2sinθx2+（y-1）2=1，C2：ρ=23cosθ（x-3）2+y2=3，直线C3：α=π6y=33x，联立x2+（y-1）2=1y=33x43x2-233x=0，得A32，12，同理可求B332，32，所以|AB|=32-3322+12-322=2。

（2）极坐标系中，曲线C3：θ=α（ρ∈R），其中0≤α<π，∴A（2sinα，α），B（23cosα，α），所以|AB|=|2sinα-23cosα|=4sinα-π3。由于0≤α<π，所以-π3≤α-π3<2π3，∴当α-π3=π2即α=5π6时，|AB|max=4。

解析：第（1）问，通过不同坐标系下，两种方法的对比，体现极坐标系下解题的优势，

第（2）问在极坐标系下更容易解决问题，进而体现学习极坐标系的意义。

解析几何中涉及过原点的两点的距离问题，仍可以考虑利用极径ρ的几何意义解题。

【拓展1：2018年龙岩市5月份质检·文科20】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为32，点P1，-32在椭圆上，不过原点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且OA·OB=0（O为坐标原点）。

（1）求椭圆C的方程；

（2）试判断椭圆1|OA|2+1|OB|2是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。

略解：（1）椭圆C：x24+y2=1

（2）C：x24+y2=11ρ2=1+3sin2θ4，由已知得：OA⊥OB，不妨设A（ρA，θ），BρB，θ+π2，分别代入椭圆得：1ρ2A=1+3sin2θ4，1ρ2B=1+3sin2θ+π24=1+3cos2θ4；所以1|OA|2+1|OB|2=1ρ2A+1ρ2B=1+1+3sin2θ+3cos2θ4=54为定值。

【拓展2：2017年新课标1·理科10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）

A. 16B. 14C. 12D. 10

略解：

将抛物线C：y2=4x往左平移一个单位得：C′：y2=4（x+1）

C′：y2=4（x+1）ρ=21-cosθ

不妨设A（ρA，θ），DρD，θ+π2，B（ρB，θ+π），EρE，θ+3π2，分別代入抛物线C′得：ρA=21-cosθ，ρD=21-cosθ+π2=21+sinθ，ρB=21-cos（θ+π）=21+cosθ，ρE=21-cosθ+3π2=21-sinθ，所以：|AB|+|DE|=ρA+ρB+ρC+ρD=4sin2θ+4cos2θ=16sin22θ≥16，当且仅当sin2θ=1时，取到最小值。

利用极坐标系解决问题时要注意利用极坐标方程中ρ的几何意义解题时，一定要数形结合，解决线段距离问题要注意直线是否过极点。

参考文献：

[1]黄青海.浅析极坐标与参数方程的一般解题技巧[J].考试周刊，2015（60）.

作者简介：

严建平，福建省龙岩市，龙岩市第二中学。