☉江苏省张家港市乐余高级中学 赵 钰

如果把一个具体的理论应用到高中数学的教学过程当中，就会发现理论学习与实践之间能够有很好的关联性.图示理论在对很多学习理论的解释上有非常重要的作用，特别是在数学的教学当中，图示理论在帮助数学定理的理解、概念的把握以及问题的分析方面都有重要的作用.它能够使教师对学生的知识掌握情况更加的了解.数学教师一直都非常地重视将图示理论应用到高中数学教学的过程当中.图示理论的应用在进行课程改革的过程中一直没有进行过很大的改变，仍保持着其原有的色彩.

一、图示理论的概念

图示这一概念的发展有一定的历史过程，大部分人将图示理解为在脑海中已经形成的固有的知识结构，但是有一些人认为图示是固有的认知结构（与上述所说的知识结构不同），还有一部分人对于图示的理解是：图示不是知识结构，而是对经验的组合.虽然这些理解存在一些偏差，但是这些对于图示的理解仍有相似之处，就是图示可以视为在脑海中对已经具备的经验或者知识的组合［1］.

著名的心理学家皮亚杰对图示的探索非常的深入，所以通常会将皮亚杰理论叫做图示理论.在这一理论当中，学习的发生是以图示为基础的，学习的过程主要是由顺应、图示、同化以及平衡四个部分组成的.

在进行课程改革之后，有争议的部分就是理论支柱方面，但是在教学的过程中，构建主义还是具有很大的应用.构建主义对于学生原先积累的知识以及经验有着较高的要求，这一点与图示理论非常相似，所以很多学者认为构建主义可以看成图示理论的一种发展，也可以看成一种重要的学习方式.

二、图示理论在数学教学中的应用

图示理论在教学过程中有着广泛的应用，比如，在进行数学概念的学习过程中，学生能够凭借原先的经验来对概念进行理解［2］.

以苏教版高中数学选修1-1中第二章“圆锥曲线”这一概念的学习为例，在进行学习认识之前，老师首先要讲解圆锥曲线的由来：用一个平面采取不同的方式去截一个圆锥，就会得到不同的曲线，因此就产生了双曲线、椭圆以及抛物线的概念.在实际的教学过程中可以发现，虽然在此之前学生在生活中会对这些概念有一定的了解，但是之前的这些图示在现在学习数学知识的时候不能够有效地促进数学的学习，因为这三种曲线的形成，都是需要通过两个定点，或者一个点以及一条直线之间的关系来定义，而这种方法比较难理解［3］.比如，学生之前对于抛物线的理解就是一个物体抛出去形成的轨迹，但是如果将抛物线定义为到一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹，那么对于学生的理解来讲就比较的困难了，这就是概念建构的复杂性.

在运用图示理论进行学习时可以分成以下几个步骤：

首先，让学生自己罗列出对于椭圆以及双曲线的知识的理解.这种做法可以让图示更加地清晰.第二步，利用计算机技术采用动画表现的方式将平面与圆锥进行相切.

图1

当截面位置平行于圆锥轴线时，所成截交线就是双曲线，如图1所示；当截面位置倾斜于圆锥轴线时，所成截交线就是椭圆，如图2所示；当截面位置平行于圆锥一条母线时，所成截交线就是抛物线，如图3所示；在演示之后进行总结归纳，这个环节可以让学生以小组形式自行归纳.

第三步，利用直线与定点之间的距离条件，对这三种曲线的概念进行重新理解.最后，对这两种认识方法以及方式进行对比比较，建立新的图示.

在高中数学教学的过程中存在的另一个重要内容就是对于问题的解决，根据图示理论来看，学生要会运用自己已经建立起来的图示去解决新的问题.在进行数学习题的练习过程中，一些习题是具有生活背景的，那么，对于学生的图示是一个考验的过程.因此教师在进行巩固复习的时候，需多应用与生活息息相关的例题，来锻炼学生运用图示解决实际问题的能力.

例1根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3m，宽1.6m.现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理规定汽车进入隧道后必须保持距中线0.4m的距离行驶.已知拱口AB宽恰好是拱高OC的4倍，若拱宽为am，求能使卡车安全通过时a的最小正整数值.

解：如图4所示，以拱口AB所在直线为x轴，以拱高OC所在直线为y轴建立直角坐标系.由题意可得抛物线的方程为

取x=1.6+0.4=2，代入抛物线方程得

由题可知，y>3，即

又因为a>0，所以a2-12a-16>0，解得

又因为a为正整数，所以a应取14，15，16…

所以使卡车安全通过时a的最小正整数为14.

反思：本题的解题过程可归纳为两步：①根据实际问题的意义，确定解题途径，得到距拱口中点2m处y的值；②通过解不等式y＞3，结合问题的实际意义和要求得到a的值，值得注意的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中经常用到.

三、高中数学教学中图示理论的重要性

虽然在教学过程中运用图示理论对高中数学的学习进行辅助不是一个创新之处，但是却给人们带来了很多反思.很多人认为高中数学的学习只是为了应付考试，所以在进行数学的学习过程中将自己困在应付考试的空间里面.虽然在这一方面会带给老师很多职业成就.但是，如果从对数学的学习角度进行思考，就会发现自己并没有理解数学学习的本质，没有对数学学习的目的进行深入的了解.而对于数学的教学过程来讲，这是一个教师自身能力以及专业素养提升的过程.但是如果只是为了应付考试，教师只会整天研究考试，没有进行其他方面的研究钻研，那么教师的教学能力以及专业素养没有得到一定的成长.最后从数学对于学生成长的影响来讲，虽然在现在对于数学知识的学习是为了能够在高考当中取得好的成绩，但是，数学学习的过程也是思维能力的锻炼过程，学生能够在数学学习过程中积累数学学习方法，并运用到实际生活当中，这对于学生的发展来讲也是非常重要的.

上面所例示的这些思考，都是为了阐述一个道理，那就是图示理论在教学过程中有着广泛的应用.图示理论在很多的教学过程以及相关的课程改革中都没有进行较大的改动.图示理论能够直接将有效的学习过程展现出来，能够帮助老师掌握学生的学习情况，提高老师的教学效率.