☉安徽省淮南二中 王 勇

作为教学推手及风向标的高考试题是高考命题专家深入思考、长久酝酿、反复打磨的精品，能很好地体现教育者的智慧，反映最前沿的教育理念，折射高校的选人标准，也能从一个侧面管窥社会对人才的需求方向，一般都有研究和教育教学的应用价值.有诗人说：“千尺丝纶直下垂，一法才动万法随.”本文从对2017年全国卷Ⅲ第17题的解法赏析出发，探讨其教育价值，希望对中学数学教学有点启发、对中学教师有点点拨、对教学改革有点帮助！

2017年全国卷Ⅲ第17题是一道三角函数求值及解三角形的综合题，涉及三角变换、三角求值、正余弦定理及三角形面积等相关知识.本题的多种解法考查了运算能力、数学建模、逻辑推理等数学核心素养，体现了解决数学问题的思维的灵活性、建模的适用性、运算的精确性，有利于培养学生创新性及开放性的思维品质，对数学课堂教学如何培养学生的核心素养有很好的导向作用.

一、多种解法展示

原题呈现：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（1）求c；

（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.

解法1：在△ABC中，由余弦定理，得，从而可得

解法2：由解法1知，从而

所以D是BC中点，从而

解法3：

解法4：由余弦定理，得，从而

解法5：设

在△ABD中，BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD，

解法6：如图1所示，过点B作BH⊥AB交AD的延长线于点H.

在直角三角形ABH中，所以BH=2，

所以△ADC≌△HDB，有BD=DC，故D是BC中点，

解法7：如图2所示，过B作BH⊥AC交CA的延长线于H.在直角三角形ABH中，，所以AH=2，所以A是HC中点，而BH∥DA，所以D是BC中点，从而

图1

解 法8：设，则

解法9：以A为坐标原点，以为x轴建立平面直角坐标系，则

直线BC的方程为

令x=0，则，故D点坐标为

从而D是BC中点，

二、教育价值浅析

本题上述几种解法涵盖了高中数学所涉及到的三角法、代数法、几何法、向量法、解析法，并体现了两种或两种以上方法的综合应用.下面从以下几点来分析其教育价值：

1.三角法

解法1、2、3、4体现了三角法在本题中的应用.三角函数是学生在高中阶段学习的一类重要函数模型，在很多领域都有广泛应用.这种解法是将一般的数学问题转化为三角符号，然后用三角运算、分析推理求出答案.学生通过从一些基本公式出发推导结论，体会演绎推理的内涵以及三角恒等变换的逻辑体系.应用正弦定理、余弦定理解三角形加强了学生对实际问题的理解，同时又强化了与三角恒等变换的横向联系，从复杂的问题中抽象出数学问题并加以解决.因此，通过三角法的运用，可以使学生在解决问题的过程中深刻体会到数学的应用价值，培养学生逻辑推理与运算能力，并增强了学生分析问题、解决问题的意识.

2.代数法

解法5体现了代数法在本题中的应用.函数与方程、不等式思想是高中数学的主线之一，这一数学思想贯穿高中数学始终.本题通过建立方程（组）找到等量关系，使复杂的动态问题得以静态解决.在高中阶段，学生要能够用方程思想去研究问题、解决问题，并在头脑中形成方程思想的雏形，才能以静制动、以不变应万变.这是学习数学的要求，更是数学发展所必须的.

3.几何法

解法6、7体现了几何法在该题中的应用.平面几何中的演绎推理，是一种直观化、形象化的数学模型.本题通过添加恰当的辅助线，激发学生的数学思维.用平面几何解决三角形问题对高中生来说本身就是一种跨越，信息整合的过程就是培养学生分析图形、培养其直观想象能力的过程.目前高中教材对平面几何的内容涉及较少，高考中更是没有直接体现.这对培养学生的抽象思维能力不得不说是一种遗憾.

4.解析法

解法8体现了向量法在本题中的应用.具有代数与几何双重属性的向量在高中阶段的重要性是不言而喻的，特别是用向量解传统平面几何问题可谓是“神来之笔”.本题的向量解法过程真是简洁、美观、干净利索，并让人有意犹未尽之感.通过向量运算有助于学生体会数学各板块之间的内在联系，体现数学的创造过程，提高学生的运算能力、推理能力.

5.向量法

解法9体现了解析法在本题中的应用.笛卡尔创立的解析几何学是人类历史上的一项重大发明，是数学史上一次划时代的转折.解析法的本质是用代数方法解决几何问题，体现了数形结合的思想.本题用解析法解决实际上是一次思维的跳跃，不但体现了学生对解析法的理解、对数形结合思想的应用，更展现了学生的数学运算能力.

总之，一题多解考查了学生思维的深度与广度以及运用数学思想方法分析问题、解决问题的能力，从而可以评判出学生能力与素养的差异.在数学课上多进行一题多解训练可以开阔学生的视野，调动学生探索问题的积极性，培养学生的探究精神与创新意识.一线数学老师要深入挖掘经典考题的教学价值，多角度、多方位进行应用，使低效无趣的解题课堂变得高效而精彩！