张瑞稳，赵沁怡

（中国科学技术大学 管理学院，合肥 230046）

0 引言

股指期货作为重要金融衍生品的推出结束了中国资本市场没有做空的历史，完善了资本市场同时，也扩大投资者的投资选择。不过，股指期货属于金融衍生品，设计相对复杂，作为普通的投资者需要掌握一定的专业知识才能进行投资。其中，股指期货套期保值头寸的设定成为未来投资者较为关心的问题。目前有不少文献开展了这方面的研究[1-4]。本文在分析传统套期保值理论基础上，结合马柯维茨的现代投资组合理论，以历史数据模拟法计算最小风险套期保值比率。主要采用的方法有OLS最小二乘回归模型估计方法、双变量向量自回归模型估计方法以及基于协整关系的误差修正模型估计方法，并对套期保值的有效性进行评价。

1GARCH-CVaR动态模型的构建

本文主要考虑股指期货对给定投资组合的最优套期保值比率的确定，因此，考虑双变量的GARCH模型。双变量GARCH模型有两个条件均值方程和三个条件方差方程。简单的双变量GARCH(1,1)模型的条件方差方程如下：

这里假定误差序列服从正态分布，并且两误差序列的相关系数为常数。式（1）三个条件方差方程中，一个是两序列间的条件协方差矩阵，另外两个是两序列的条件方差方程。对于GARCH模型中的参数通常采用极大似然估计，通过构造对数似然函数，同时择优利用NR遗传算法、BHHH方法等数值方法进行优化，通过最大似然估计出GARCH模型中的参数。

根据CVaR定义，CVaRα(x)为组合x的损失f(x，y)超过VaRα(x)的期望值。有：

损益函数由f(x，r)=-(x1r1+x2r2+…+xnrn)=-xTr给出，x=(x1，x2，…，xn)T表示在n种资产上的资金分配情况，r=(r1.r2，…，rn)T，ri表示第i种资产的市场收益率。套期保值投资组合的方差为：

那么，套期保值投资组合的CVaR可表示为：

式（4）中,p(r)为资产组合收益率的密度函数。

假设套期保值资产组合收益率服从正态分布，采用资产组合的CVaR作为目标函数，并通过最小化CVaR目标函数来确定在一定置信水平下的最优套期比。则在置信水平α下和给定的时间τ内，最优套期保值策略的目标函数为使式（4）最小化，有：

上式成立的条件相关系数ρ满足-1≤ρ≤1，因此显然有1-ρ2≥0。以确定最优套期保值比率：

式（6）中：σs为Rs的标准差；σf为Rf的标准差；σsf为Rs和Rf的协方差；Zα为在置信水平α下的标准正态分布的分位数。

2 实证分析

传统的套期保值比率的计算方法有最小二乘（OLS）回归模型估计法、B-VAR双变量向量自回归模型方法等，本文基于协整关系的误差修正模型方法，通过对VaR和CVaR的股指期货套期保值组合模型求最小值，利用各模型逐一计算套期保值比率，并对其有效性进行分析评价。

2.1 数据的选取与处理

本文从沪深市场选择90只流通市值较大的股票，选取的数据为2015年1月6日至2017年12月26日共147周的周收盘价，所选样本数据行业分布均匀。分别计算90只股票的收益率，按流通股份做权数构建投资组合，并计算组合146周的收益率。沪深300股指期货数据同样选取2015年1月6日至2017年12月26日的周收盘价，计算其收益率，描述性统计如表1所示。现货投资组合的收益率波动与期货指数收益率波动走势基本一致，收益率波动曲线图由于篇幅不再赘述。

表1 股票组合与沪深300股指期货收益率的描述性统计

古典时间序列分析方法往往假设样本序列具有同方差、无序列相关并且服从正态分布。如果样本序列违背这些假定的话，就需要采用其他的分析方法。因此，为了达到模型的应用条件，需要对现货和期货收益率序列进行相关的假设检验。

本文采用序列的自相关系数和偏相关系数以及Ljung-Box Q统计量来检验样本数据的序列相关性，得出残差序列的自相关和偏相关系数，以及Ljung-Box Q统计量。统计结果显示，接受原假设，即残差不存在序列相关。通过计算数据序列的峰度和偏度，发现数据序列也基本满足正态分布。

采用单位根检验对样本数据进行平稳性检验。对沪深300股指期货收益率、沪深90只股票组合收益率分别进行单位根检验，采用常用的PP检验方法。若序列存在高阶滞后相关，这就不符合扰动项是独立同分布的假设，则不能采用该检验方法。统计结果如表2所示。

表2 股票组合和沪深300期货收益率的单位根检验统计结果

由表3可以看出，股票组合收益率和沪深300期货收益率的一阶截断滞后t统计量小于置信水平1%的临界值，则接受原假设，即股票组合收益率和沪深300期货收益率序列只存在唯一的单位根。

异方差与协整检验则通过ARCH LM方法检验残差平方序列。统计分析结果表明残差序列的自相关系数不为0，偏相关系数也不为0，且Q统计量显著。统计数据表明残差序列存在一定的ARCH效应。另外，利用协整检验以识别自变量和因变量之间是否存在协整关系。统计结果如表3所示。

表3 股票组合和沪深300期货收益率的协整关系检验结果

显然，t-统计量小于1%置信水平的临界值，接受原假设，残差序列只存在唯一的单位根，也就是说，股票组合收益率和沪深300期货收益率序列之间存在协整效应。

由以上的检验可以看出：股票组合收益率和沪深300期货收益率序列不存在序列自相关性；残差序列存在异方差性，即ARCH效应，可采用ARCH类模型对收益率序列进行估计；股票组合收益率和沪深300期货收益率序列之间存在协整效应。

2.2 套期保值最优套头比的计算

上文对股票组合收益率序列和沪深300期货收益率序列分别进行了一系列的检验，接下来在此基础上用GARCH-VaR和GARCH-CVaR模型分别计算其套头比，并对其进行有效性评价。

2.2.1 结果分析

由上文的检验结果可知，股票组合收益率序列和沪深300期货收益率序列不存在自相关性，残差序列存在ARCH效应，因此采用GARCH（1,1）-CVaR动态模型分析收益的波动性和条件风险。对于误差服从正态分布的GARCH(1,1)模型，其对数似然函数用极大似然法对式进行参数估计。结果如下页表4和表5所示。

表4 股票组合收益率GARCH(1,1)模型估计结果

表5 沪深300期货收益率GARCH(1,1)模型估计结果

同时，还可算出两误差项的条件相关系数ρ=0.830563，相关性程度很高。成熟的期货市场如美国S&P500指数和相应的股指期货之间的相关系数可以达到0.9以上，接近1。这里，90只行业重仓股组合和沪深300期货之间的相关系数比较高，说明股票指数期货市场的投资能够很好地规避股票现货市场的风险，选择适当的套期保值模型将提高规避风险的效果。

根据上文的检验和估计，得到股票组合及沪深300期货收益率的期望收益、方差和标准差之后，计算VaR、CVaR最优套期保值比率。套期保值区间设置为1，不同的置信水平α=0.5～0.99。表6给出不同置信水平下的VaR和CVaR套期保值比。

表6 不同置信水平α下的VaR和CVaR套期保值比

按照经典的MV模型计算最优套期保值比。从表6中可以看出，当置信水平α增加时，VaR套期保值比和CVaR套期保值比也随之增加；α趋近于1时，VaR套期保值比和CVaR套期保值比趋近于MV套期保值比。数据显示，随着α的增加，VaR套期保值比变化较大，特别是交易数据缺失、流动性较差时，VaR估计的准确性下降。相比之下，CVaR克服了VaR的缺点，结果较稳定，对于市场出现极端情况时的处理效果比较好。从总体趋势来看，条件风险价值CVaR与VaR的变化趋势基本趋同，但由于本身是一致性风险测度工具，其取值始终比后者偏大。特别是在市场剧烈波动期间，在尾部发生小概率事件时，其可能的期望损失比VaR大很多。在可能出现的极端事件中，VaR进行风险测度易导致风险低估，且随着风险越大，VaR值被低估越明显。所以用更加客观的CVaR方法度量风险，更符合风险管理的谨慎性原则。

2.2.2 套期保值有效性评价

在传统的套期保值有效性的测度方法中，或多或少都存在一定的不足，本文套期保值目标在锁定投资收益，规避投资风险，为理性投资者投资提供服务。有实证研究使用Ederington测度方法有一定的相对优势，因此本文采用Ederington测度方法作为套期保值有效性测度方法，对以上四种模型的套期保值有效性进行评价。公式，Var(U)表示没有采用套期保值交易实现收益的方差（风险）。将不同方法得到的套头比分别代入套期保值投资组合方差的计算公式中 ，计 算 出 不 同 模 型 的Var(H)，进而得出不同的HeEderington，结果如表7所示。

表7 几种模型套期保值有效性评价

由表7可以看出，基于CVaR极小化的套期保值方法规避风险的有效性比其他几种模型要好，而基于VaR极小化的套期保值方法规避风险的有效性较低，原因可以从以下几个方面考虑：一是本文采用股票组合收益作为现货，沪深300期货收益作为期货，交易量小、流动性弱，不能很好地反映现货市场和期货市场的市场价格；二是股指期货定价的准确性也会影响套期保值效果，国内市场缺乏大量的套利商，使得股指期货的交易价格可能较大地偏离股指期货的内在价值，造成价差偏大；三是仅选取三年间股票收盘价及沪深300期货收盘价，数据量有限，而以上模型估计套期保值比率的准确性均依赖于大的样本集合。

3 结论

本文利用GARCH（1,1）-VaR模型分析了套期保值效率与组合风险控制，通过样本数据研究结果显示，当收益序列满足正态分布时，VaR和CVaR度量风险是基本相同的。相对于VaR，CVaR是一致性风险度量，可用于整体资产组合优化中，因此GARCH-CVaR模型具有更好的实用价值。通过Ederington测度方法对五种模型计算得到的套期保值比进行有效性评价，可得出CVaR模型能够很好地规避风险，这里Ederington测度方法仅考虑风险而没有考虑收益因素。