陆振宇 邱雨楠 傅佑 陆冰鉴

关键词： 图像分割; 模糊C均值; 小波变换; 各向异性滤波; 粒子群算法; 去噪算法

中图分类号： TN911.73?34                       文献标识码： A                         文章编号： 1004?373X（2019）05?0057?04

An improved FCM image segmentation method based on wavelet transform

and particle swarm optimization

LU Zhenyu1， 2， QIU Yunan1， FU You1， LU Bingjian1

（1. School of Electronic & Information Engineering， Nanjing University of Information Science and Technology， Nanjing 210044， China;

2. Jiangsu Collaborative Innovation Center on Atmospheric Environment and Equipment， Nanjing 210044， China）

Abstract： Fuzzy C?Means （FCM） algorithm， as one of the most commonly?used image segmentation algorithms， has the advantages of unsupervised characteristic， easy calculation and soft segmentation. However， it is obviously disturbed by noisy image， sensitive to the initial value， and easy to fall into the local minimum. Therefore， a new FCM algorithm is proposed. The wavelet transform is used to perform the triple decomposition for the image to obtain the high?frequency and low?frequency coefficients with different scales. The anisotropic filtering is used to denoise the decomposed high?frequency coefficient. The wavelet reconstruction is carried out for the processed coefficients to get the processed images. The particle swarm optimization algorithm is used to update the clustering center of FCM algorithm to get the global optimal value. The experimental results show that the proposed algorithm can effectively suppress the influence of noise， and has strong robustness.

Keywords： image segmentation; fuzzy C?Means; wavelet transform; anisotropic filtering; particle swarm optimization; denoising algorithm

0  引  言

图像分割是指将图像根据一定的准则分割成几个各具特征且互不重叠的区域。目前图像分割方法主要有：基于阈值的分割方法[1]、基于粒子群优化的多级阈值分割[2];基于边缘检测的分割方法，如拉普拉斯算子[3]、结构化森林[4];基于区域生长和分裂合并的分割方法[5]、水平集与区域生长相结合的方法[6];结合特定理论的分割方法，如基于分水岭的标号法[7]、深度卷积神经网络方法[8]。

FCM（Fuzzy C?Means，模糊C均值）分割方法具有程序实现简单、不需要人为干预等方面的优势。但传统的FCM算法在求解目标函数时采用最速下降法，易使得迭代过程陷入局部最优解。此外，该方法的分割效果易受到噪声干扰，鲁棒性较差。

针对以上问题，国内外许多学者提出了很多改进的方法：針对目标函数求解时易陷入局部极值的问题，文献[9]提出了粒子群与FCM融合（PSOFCM）的方法;针对算法易受噪声影响，文献[10]提出了基于PDE的非线性扩散滤波方法。

综合考虑以上问题，本文提出一种新的FCM算法。实验结果表明，该算法较好地抑制了噪声的影响，具有较好的鲁棒性。

1  FCM算法

FCM由Dunn和Bezdek提出，其核心思想是通过寻找合适的隶属度和聚类中心使得目标函数取得最小值：

[Jm（U，V）=i=1n j=1cμmijd2ij（xi，vj）] （1）

[μij=r=1cdijdir2m-1-1] （2）

[vj=i=1nμmijxii=1nμmij] （3）

式中：[J（U，V）]表示区域的像素到聚类中心加权距离的平方和;[U=（μij）n×c]表示隶属度矩阵，[c]表示图像的聚类数，[μij]是样本点[xi]隶属于第[j] 类的值;[m]表示模糊指数，一般典型值取2，当[m=1]时，模糊聚类退化为硬聚类（HCM）;[V=（v1，v2，…，vc）]是聚类中心值的矩阵;[vj]表示第[j]个聚类中心;[d2ij（xi，vj）=xi-vj]是样本点[xi] 到聚类中心[vj]的欧氏距离。

该算法首先确定聚类数[c]和初始化隶属度矩阵，然后通过式（2）、式（3）反复更新聚类中心和隶属度矩阵，当目标函数小于某个阈值时，就得到各类的聚类中心和隶属度。

该算法存在如下缺点：对初始值敏感，对初始聚类选择的依赖性很大，若初始的聚类中心远远偏离全局最优聚类中心时，该算法易陷入局部极小值。且传统FCM易受噪声信号干扰，对含噪图像的分割效果较差。

2  各向异性滤波

各向异性是指材料在各方向的力学和物理性能呈现差异的特性。对图像来说，各向异性就是在每个像素点周围四个方向上梯度变化都不一样，滤波时要考虑图像的各向异性对图像的影响，而各向同性显然是指各个方向的值都一致，常見的图像均值或者高斯均值滤波可以看成是各向同性滤波[11]。

各向异性滤波是将图像看成物理学的力场或者热流场，图像像素总是向跟他的值相异不是很大的地方流动或者运动，这样那些差异大的地方（边缘）就得以保留，所以本质上各向异性滤波是图像边缘保留滤波器（EPF）。它在各个方向的扩散可以表示如下：

[?ρ?t=?[Dq??ρ]2-q] （4）

式中[Dq]称为扩散因子。根据时间不同时刻，扩散过程可以表示如下：

[It+1=λ（cNx，y?N（It）+cSx，y?S（It）+ cEx，y?E（It）+cWx，y?W（It））] （5）

式中：[I]表示输入图像;[t]表示当前的迭代次数;[cNx，y]，[cSx，y]，[cEx，y]，[cWx，y]表示四个方向上的导热系数。

3  本文方法

本文首先对含噪原图进行小波变换，利用Haar小波对图像进行三重分解提取低频信息。然后，对高频系数进行各向异性滤波去噪，再将去噪后的高频信息构造[C，S]系数，并根据[C，S]系数重构得到初步去噪图像。最后，对去噪后图像进行FCM分割，在优化FCM目标函数时，利用粒子群算法速度和位置更新公式来更新FCM的聚类中心，使其能够跳出局部最优达到全局最优。

3.1  改进的小波变换去噪方法

小波变换是一种多分辨率的信号分析方法，它以压缩比高、压缩速度快、压缩后能保持信号与图像的特征不变，且在传递中可以抗干扰为特点，在时域和频域都具有表征信号局部特征的能力[12]。对于一般图像，能量一般集中于低频段，通过不断提取低频段的信息即可得到图像的主要信息。针对经典FCM算法在分割图像时易受噪声干扰的缺点，在对图像分割之前先进行一次初步去噪工作。

如图1所示是对图像进行一级小波分解得到的子带图。其中，[a]自带图像表示近似值，它包含了大部分的原图能量，所以它与原始图像最为相似，对后期恢复的图像的质量影响较大。[h，v，d]分别表示水平细节分量，垂直细节分量和对角细节分量，其中，[v]和[h]子带图像的小波系数和方差大于[d]子带图像，所以[d]子图对重构图像的质量影响较小。

应用Haar小波变换将图像三重分解得到不同尺度的高频和低频系数，应用各向异性滤波对分解后的高频系数依次进行滤波。

传统的重构方法利用小波分解时得到的[C，S]分量进行图像重构，本文则通过重新构造[C，S]分量进行实现。

由于[C]的结构为[A（N）H（N）V（N）D（N）]

[H（N-1）V（N-1）D（N-1）H（N-2）V（N-2）][D（N-2）…H（1）V（1）D（1）]，而[C]行向量的大小应为[S（1，1）*S（1，2） *S（1，3）*4+S（3，1）*S（3，2）*S（3，3）*3+…+S（N-1，1）*S（N-1，2）*S（N-1，3）]，将处理后的高频系数按上式整合依次放入到参数[C]中，通过[C，S]重构得到初步去噪图像。

3.2  PSOFCM算法

文献[9]提出基于粒子群的模糊C均值聚类算法（PSOFCM）的图像分割，该方法通过PSO算法优化FCM的聚类中心，在一定程度上避免了传统的FCM对初始值敏感，容易陷入局部最优的缺点，同时图像分割的效果得到了提高，性能也比传统的FCM方法更加稳定。

用矩阵[Z=（Z1，Z2，…，ZN）T]表示[N]个粒子的位置矩阵，用[Zl=（zl1，zl2，…，zlc）]表示粒子群中的一个粒子，也就是一个聚类中心的集合。利用式（2）计算隶属度矩阵[U]，PSO的适应度函数用FCM算法的目标函数表示如下：

[fit（U，Zl）=i=1nj=1cμmijd2ij（xi，zlj）] （6）

[vlj=wvlj+c1rand1（plj-zlj）+c2rand2（pgj-zlj）] （7）

[zlj=zlj+vlj]  （8）

式中：[vlj]是第[l]个粒子的速度在第[j]维上的分量;[Pl=（pl1，pl2，…，plc）]是第[l]个粒子的最佳位置;[Pg=（pg1，pg2，…，pgc）]是全体粒子的最佳位置;[w]是惯性系数;[c1，c2]是学习因子，一般取2。

该算法改变每个粒子的位置即聚类中心的取值，从而产生多种聚类结果，通过式（7），式（8）反复迭代，直到找到可接受的簇中心，即适应度函数达到终止条件或整个循环达到最大循环次数。此算法与FCM算法最大的区别在于不再使用梯度下降方法而是使用PSO来确定聚类中心。

PSOFCM算法主要通过粒子群的速度和位置公式来更新FCM算法的聚类中心，该算法加强了FCM的全局搜索能力并提高收敛速度。

3.3  方法步骤

综上，本文方法的总体步骤为：

Step1：初始化各参数：粒子群算法中的学习因子[c1，c2]，粒子群的粒子数[N]，最大最小惯性系数[wmin，wmax]，迭代次数[PSOiter];小波变换中的小波类型[wtype]，分解级数[zt];各向异性滤波算法中的迭代次数[num_iter]，平滑系数[λ]，导热系数[k];FCM算法中的聚类数[cluster_n]。

Step2：对含噪原图进行小波分解。对得到的高频信息进行滤波，将处理好的高频分量整合到参数[C]中。

Step3：对初步去噪图像进行分割，通过式（7）、式（8）改变每个粒子的位置，即改变聚類中心的取值从而产生多种聚类结果。

Step4：判断是否满足迭代终止条件（esp<10-6），若是则执行Step5;否则，跳转到Step2。

Step5：此时的[Pg]为聚类中心。根据其隶属度矩阵可以得到分类结果。

4  实验结果

本实验的测试环境为CPU酷睿2.5 GHz，内存8 GB，用Matlab 2012a编程实现。将医学MR图像和Berkeley大学数据库中的图像进行对比实验，以验证本文方法在图像分割中的效果。

图2是仿真图像的实验以验证本文方法对含噪图像的分类效果。图2a）是含噪图像，图2b）～图2d）分别是经典FCM算法、基于粒子群的模糊C均值聚类算法（PSOFCM）、基于模拟退火和粒子群的模糊C均值聚类算法（SAPSOFCM）和本文方法对其进行分割的结果。

记FP为错误分割的像素，SA为图像分割精度，其定义为分割正确的像素除以图像所含的所有像素[13]。

[SA=i=1cAi?Cij=1cCj] （9）

式中：[c]是聚类数目;[Ai]表示算法分割出的属于第[i]类的像素;[Ci]表示图像表现出的属于第[i]类的像素。

表1给出了不同分割方法对图2的分割精确度。从表中可以看出，本文方法所得的错误像素个数最少，分割精确度最高。

为验证本文方法的效果，选择经典的脑部MR图像和Berkeley大学图像库中自然图像167062加入0.005%的Gaussian噪声进行测试，图像分割结果对比如图3，图4所示。

从图3，图4中可以看出，经典FCM方法受到噪声影响较为严重，分割后的图像中存在明显的噪声点。而本文方法所得的分割结果能有效降低噪声干扰，图像中噪点较少，分割结果清晰。这些结果表明本文方法的分割结果较好。

5  结  语

针对经典FCM算法分割图像时存在对初始值敏感，易陷入局部极小值和易受噪声干扰的缺陷，本文提出一种改进的FCM分割方法。首先使用小波变换对原图像处理得到低频信息和高频分量，然后对高频信息去噪，构造分量再重构回原图大小得到初步去噪图像;然后在使用FCM分割图像的过程中，使用粒子群算法的速度公式和位置公式来更新聚类中心，从而加强了算法的全局搜索能力，提高其收敛速度，使得该算法能够以一定概率跳出局部极小值达到全局最优解。实验结果表明，本文方法能够对含噪图像的分割有较高的精确度，分割速度较快，具有一定的实用价值。今后将进一步在分割时加入空间邻域信息，以提高分割的准确度。

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