王依娜，熊 岩 *，金瑞佳,2,黄传朋

(1.交通运输部天津水运工程科学研究所 港口水工建筑技术国家工程实验室 工程泥沙交通行业重点实验室，天津 300456；2.中国海洋大学，青岛 266100)

波浪能具有储量大、对环境干扰小、利用率高等优势[1-3]。根据波浪能发电装置的布置位置相对于海岸的距离可以将其分为三类：岸上波能发电装置、近岸波能发电装置和离岸波能发电装置。其中近岸发电装置和离岸波能发电装置大多数为浮式结构。特别是现阶段很多波浪能装置为岛屿提供生活用电，故投放在岛礁附近，岛礁边缘水深会发生突变，波浪在传播过程中遇到突变的地形会发生绕射现象和折射现象，导致波高、波向、周期等均会发生变化。这些现象的发生和这些参数的变化使得波浪能装置周围的水动力环境十分复杂。

1 引言

早期学者就意识到了地形对波浪场的巨大影响，李玉成和张春荣[4]研究了水流与地形综合作用对波浪折射影响，曹建洪等[5]对开源程序库OpenFOAM进行改进，对南海复杂海底地形上的波浪传播演化过程进行了数值模拟研究，给出了波浪从深海到近岸浅水整个区域上的演化过程。郝建[6]从地形对波浪传播影响的角度对畸形波的生成概率进行数值模拟，探讨其生成机理。尽管很多学者都研究了地形对非线性波浪场的影响，但是针对波浪与浮体这部分的耦合研究还有些缺乏。

浮体在非线性波浪作用下会发生慢漂运动，这一现象很多学者进行过数值模拟和物理模型试验研究。Emmerhoff和Sclavounos[7]针对简单的单圆柱和4个圆柱阵列的慢漂运动进行过数值模拟研究，在发现慢漂运动的同时得到了波浪慢漂阻尼。Naess等[8]采用了Monte Carlo模拟方法预测了TLP平台的一阶波频运动和二阶慢漂运动，其中水动力部分采用商业软件WAMIT进行计算。Molin等[9]对海底有坡度情况下的系缆矩形驳船的慢漂运动进行了物理模型实验研究，通过比较平均漂移位移和漂移的标准差的实验数据和数值结果，发现原数值方法在水深较浅时候计算有局限性，并通过改进数值方法，使数值模型计算有更好的适用性。近年来，学者开始对实际海洋工程结构物的慢漂运动进行了分析，Lupton和Langley[10]研究了浮式海上风机的慢漂运动，找到了海上风机结构中圆柱直径尺寸与二阶漂移运动响应的关系，随后针对风机的尺度规模对其慢漂运动的影响进行了界定[11]，关于该风机的研究，很多学者[12-14]通过对商业软件WAMIT进行适当改进同样对该风机基础的二阶力以及产生的慢漂运动进行了研究。Yazid等[15]使用参数化的Volterra模型计算了Truss spar平台的慢漂运动，并且与其他人的实验结果进行了对比。Teng和Jin[16]提出了两次展开方法求解系泊浮体的大幅慢漂运动，该方法对基于初始平衡位置的摄动展开方法进行了改进，适合于浮体发生大幅慢漂运动时的计算。尽管很多学者对系泊浮体的慢漂运动都进行了研究，但是他们的研究都是基于水平海底的情况，并没有考虑海底地形的变化对运动的影响，例如海底坡度的变化或者海底存在某些固定结构物，这些都会对波浪场产生影响，进而影响了系泊浮体的运动。

基于上述背景，本文主要研究了海底地形对系泊浮体慢漂运动的影响，推导了具有海底地形情况下的控制方程和边界条件，同时给出了积分方程的建立与求解以及波浪力和运动响应的求解计算，随后应用该模型研究了海底地形对浮体慢漂运动存在较大影响，分析了浮体位于地形不同位置对其的影响，并进行了定性和定量的分析。

2 理论方法

图1 Oxyz坐标系示意图Fig.1 Oxyz coordinate system

2.1 控制方程和边界条件

流体的水动力计算基于绕射理论，假设波浪沿x轴正向传播，在水深为d情况下依据右手螺旋定则建立坐标系Oxyz，其中O为坐标原点，Oz垂直向上为正，自由水面定义为SF，物体表面定义为SB，将海底看成一固定结构物，定义为SD，具体如图1所示。

针对速度势函数满足的控制方程和边界条件，很多学者进行过详细的推导，本文同样将速度势分解为入射势φi和散射势φs，详细过程可参见文献Bai和Teng[17]。

由于海底存在地形或者结构物，散射势的海底边界条件为

(1)

式中：n为平均物面上的单位法向量，指出流体为正。

2.2 积分方程的建立与求解

(2)

(3)

式中：边界S包括淹没于水中的物体平均湿表面SB和从水线到阻尼层外边界的有限静水面SF，xr0(xr0,yr0,zr0)表示源点；x(x,y,z)表示场点。

(4)

2.3 波浪力的求解

通过求解积分方程得到物体表面的散射势之后，作用在瞬时物体湿表面上的压力通过伯努利方程求解得到，波浪力的求解通过表面压强积分可以获得，将其划分为几项之和，不同阶数通过ε进行区分

(5)

各项的具体表达形式同样见Bai和Teng[17]的文献，有详细地介绍，其中二阶力激发了浮体的慢漂运动。

2.4 浮体运动响应的计算

求得浮体受到的波浪力后，根据动量守恒定律，浮体运动响应的一阶二阶运动方程如下

(6)

(7)

图2 地形和水面的示意图(已经在垂直方向放大15倍)Fig.2 Sketch of the tank bottom and calm water surface (exaggerated 15 times in vertical direction)

3 计算分析

3.1 模型验证

为了验证本数学模型，现计算波浪经过一陡变地形后，波高的变化情况。地形变化前水深为0.457 2 m，经过地形变化后水深变为0.152 4 m，地形简图如图2所示，其显示已经在垂直方向被放大15倍。

在模型中，水深的变化如下式

(8)

图3 水面波高幅值Fig.3 Wave amplitude on the free surface

进行了两组规则波的验证，波浪条件如下：周期T=2.0 s，波幅A=0.007 5 m和0.010 6 m，kA=0.012和0.017。从计算结果看，本数值模型得到的结果与Shao和Faltinsen[18]于2014年的论文进行对比，Shao和Faltinsen的模型为完全非线性模型，充分考虑了物体表面和自由水面的非线性影响，结果自然大于二阶数值模型，但是计算趋势基本一致，但是在最大值附近有所区别。

3.2 算例分析

经过验证，本数学模型可以保证计算海底地形的存在对浮体慢漂运动的影响，现分别将浮体位于坡脚(位置1)，坡上(位置2)和斜坡后方水平地形处(位置3)，如图4所示，讨论海底地形对浮体慢漂运动的影响。

图4 海底地形对系泊浮体运动影响计算示意图Fig.4 Sketch of computation of tank bottom on the motion response of mooring floater

分别计算线弹性约束浮体在水平海底和存在海底地形情况下浮体位于不同位置时的慢漂运动，该浮体为一截断圆柱，半径R=1.0 m，吃水T=1.0 m，重心和转动中心高度均为-0.5 m，水平方向线刚度为k11=468 N/m，阻尼B11=50 N·s/m，这样在水平方向系泊浮体的自振频率为ω0x=0.3 rad/s。海底地形为一线性变化的海底，坡度为45°，环境条件水深5.0 m，坡上水深为1.5 m，入射波为双色波，A1=A2=0.1 m，ω1+ω2=6.26 rad/s，差频Δω不同，具体的ω1和ω2如表1所示。

由于本文计算的是二阶问题，计算网格保证每个网格尺寸不大于波长的1/20，基于上述原则，具体数量如表2所示。

表1 双色波参数表Tab.1 Parameters of bichromatic waves rad/s

表2 不同算例网格数量表Tab.2 Grid number table of different examples

由于算例较多，仅对部分结果进行展示，图5和图6为Δω=0.24 rad/s情况下的浮体受到二阶波浪力和慢漂运动结果对比，图7和图8为Δω=0.36 rad/s情况下的浮体受到二阶波浪力和慢漂运动结果对比。

5-a 纵荡运动

5-b 升沉运动

5-c 纵摇运动图5 浮体位于海底地形不同位置时二阶波浪力时间历程曲线对比(Δω=0.24 rad/s)Fig.5 Comparisons of time histories of second-order wave force of floater located at different places (Δω=0.24 rad/s)

6-a 纵荡运动

6-b 升沉运动

6-c 纵摇运动图6 浮体位于海底地形不同位置时慢漂运动响应时间历程曲线对比(Δω=0.24 rad/s)Fig.6 Comparisons of time histories of slow drift motion of mooring floater located at different places (Δω=0.24 rad/s)

7-a 纵荡运动

7-b 升沉运动

7-c 纵摇运动图7 浮体位于海底地形不同位置时二阶波浪力时间历程曲线对比(Δω=0.36 rad/s)Fig.7 Comparisons of time histories of second-order wave force of floater located at different places (Δω=0.36 rad/s)

8-a 纵荡运动

8-b 升沉运动

8-c 纵摇运动图8 系泊浮体位于海底地形不同位置时慢漂运动响应时间历程曲线对比(Δω=0.36 rad/s)Fig.8 Comparisons of time histories of slow drift motion of mooring floater located at different places (Δω=0.36 rad/s)

表3 不同Δω下纵荡慢漂响应傅里叶变换的幅值比结果Tab.3 Amplitude ratios of slow drift motion in surge direction at different Δω

图9 不同Δω下纵荡慢漂响应傅里叶变换的幅值对比Fig.9 Amplitude comparisons of slow drift motion in surge direction at different Δω

从计算结果可以看出，和水平海底的运动响应对比，当存在海底地形时，浮体受到的二阶波浪力相位发生了变化，受力幅值明显增大，随之产生的运动响应明显增大，而且当浮体位于坡顶平台处时，运动响应最大，因为波浪传播过程中随着水深的减小，能量发生聚集，在坡顶平台处达到最大，因此此时运动响应也最大。同时，运动的相位也与之前有较大差别，同样是因为波浪经过海底地形会发生反射和绕射现象，导致波浪的相位发生变化，从而波浪力和运动响应的相位也与水平海底有较大区别。接下来对结果进行定量分析，将时间历程曲线进行Fourier分析，针对各个工况得到运动响应幅值谱，取其峰值将其结果统计，如表3所示，由于波浪的差频只和纵荡运动的固有频率比较接近，只能激发纵荡方向的慢漂运动，故仅在纵荡方向进行比较。表中F1、F2和F3分别是浮体初始位置位于位置1、位置2和位置3的运动响应幅值谱的峰值与浮体位于水平海底时运动响应幅值谱的峰值的比值。

从表3中可知，存在海底地形时，浮体的运动响应明显增大，而且当系泊浮体位于坡顶平台处时，运动响应最大，3种情况下浮体的运动响应是水平海底情况下的1.38倍、1.46倍和2.08倍，因此海底地形对运动响应的影响在计算时务必认真考虑。将结果放入通过图形进行表达，其中横坐标为波浪差频，纵坐标为运动响应幅值谱的峰值，如图9所示。

4 结论

本文采用基于摄动展开的二阶时域势流数学模型研究了海底地形对系泊浮体慢漂运动的影响。首先介绍了存在海底地形时边界条件与传统水平海底的区别，然后通过模型验证证明了本数学模型基本可以模拟存在海底地形时水面波高的变化。通过对比水平海底与存在海底地形时系泊浮体的水平慢漂运动，发现当存在海底地形时，截断圆柱受到的波浪力和漂移幅值明显增大，相位也与不存在海底地形时有明显区别，这是因为海底地形的存在使得波浪在传播过程中发生反射和绕射现象，从而改变了波浪场内的波高，同时可以看出由于海底存在斜坡，波浪传播过程中通过斜坡会发生能量聚集，从而使斜坡附近波高增大，因此截断圆柱的运动响应幅值也增大。因此海底地形对波浪场的影响不能忽略，对系泊浮体的慢漂运动影响更是必须要考虑。通过比较系泊浮体位于斜坡不同位置时的运动响应，发现当系泊浮体位于坡顶平台处时，运动响应最大，并给出了运动响应幅值与水平海底情况下的比值，对结果同时进行了定量和定性的分析。