摘 要：受力分析是高中物理动力学基础，也是高中物理教学的难点。尤其是粗糙斜面上的受力分析，用常规方法求解时，要用到数学中三角函数辅助角公式，解法繁杂，并且由于数学知识的滞后，学生无法解决。如果运用“摩擦角”知识求解，就可避开滞后的数学知识，减少繁琐的数学计算。而“摩擦角”在高中教材中没有出现，如果教师只是简单的引入，不但不能帮助学生解决问题，还会加重学生负担。教师在教学中从简单的题目入手，通过变式教学，循序渐进，实现课内外知识的无缝对接，提高教学效率。

关键词：摩擦角；变式教学；受力分析

动力学是高中物理的重点知识，同时也是学生学习的难点，受力分析是动力学的基础，学会受力分析是学好动力学的关键。教学中立足课本知识，应用变式教学进行适当延伸，有利于突破教学难点，有效发展学生科学思维。

例题1：已知两个力的合力是10 N，其中一个分力与合力的夹角为30°，则另一个分力的最小值为（ ）

解析：合力大小为10 N，一个分力与水平方向的夾角是30°，根据平行四边形定则作图，如图1所示可知，另一个分力的最小值为Fmin=10sin30°=5 N。

通过分析，引导学生总结：已知合力和一个分力的方向，求另一个分力时，可通过作图的，再结合数学方法求解。

变式1如图2所示，质量为m的物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体在与水平面成α角的斜向上拉力F作用下沿水平面匀速滑动。求

图2

（1）角α为多大时，物体沿水平面匀速滑动所需拉力F最小。

（2）F的最小值。

解析：解决本题的常规思维是建立坐标系对物体受到的各力进行正交分解，

Fcosα-μ（mg-Fsinα）=0①

F=umgcosα+μsinα=umg1+μ2cos（α+φ）②

tanφ=μ③

当α=φ时，分母取最大值1+μ2，

所以α=φ（tanφ=μ）时，物体沿水平面匀速滑动所需拉力F有最小值

Fmin=μmg1+μ2④

这种解法对学生的数学知识要求比较高，高一同学在学习这部分内容时，对应的数学知识还没学到，特别是要用到辅助角公式。这时教师指导学生尝试着问题转换成我们熟悉的模型。

物体受到拉力、重力、支持力和摩擦力4个力的作用，重力的大小方向都不变，如果拉力F变化，则会引起正压力FN变化，从而引起摩擦力Fμ发生变化。如图3所示，虽然正压力FN大小的变化会引起摩擦力Fμ大小的变化，但Fμ与FN的合力F合1与FN的夹角φ是一个定值，因为tanφ=μ=FμFN1，动摩擦因素μ是一个定值，我们就把滑动摩擦力Fμ与支持力FN的合力F合与支持力FN的夹角φ称为摩擦角。如果先把Fμ与FN合成，合力为F合1，那么物体就等效成只受3个力，分别为重力mg，拉力F，和F合1，要使物体保持匀速直线运动，就必须满足F合1与F的合力F合2与重力mg大小相等方向相反，这样问题就等效成已知合力F合2的大小和方向以及其中一个分力F合1的方向，求另一个分力F的最小值，用变式1的方法很快就可解出来，如图4所示。

Fmin=F′sinφ，因为tanφ=μ，所以sinφ=μ1+μ2）

所以拉力最小值为Fmin=μ1+μ2，方向与水平面成的角度φ（tanφ=μ）

变式3 如图5所示，倾角为θ的斜面固定在水平面上，质量为m的物体与斜面间的动摩擦因数为μ，用斜向上的拉力F使物体沿斜面匀速向上滑动，求

（1）拉力与水平面夹角α为多大时，所需拉力F最小。

（2）F的最小值。

本题只是把例题2中的水平面改成斜面。在斜面上的物体受到4个力作用处于平衡状态，由摩擦角知识可知，斜面对物体的支持力和滑动摩擦力的合力与垂直斜面方向的夹角φ（tanφ=μ）为定值，4个力作用处于平衡状态可以转化成三力平衡问题：即斜面对物体的摩擦力与支持力的合力、重力和推力三力平衡。如图6所示，由几何关系可得：当F和水平方向夹角α=φ+θ，所需的推力最小Fmin=mgsin（φ+θ）。

变式4 如图7所示，一倾角为30°的斜劈放在水平地面上，一物体沿斜坡匀速下滑。现给物体施加如图所示的恒力F，F与竖直方向夹角为30°，斜坡仍静止，则在物体加速下滑时地面对斜坡的摩擦力（ ）

A. 大小为零

B. 方向水平向右

C. 方向水平向左

D. 无法判断其大小和方向

解析：物体沿斜坡匀速下滑，所以μ=tan30°，也就是斜坡对物体的支持力和滑动摩擦力的合力与物体重力大小相等，方向相反。即斜坡对物体的作用力竖直向上。恒力F可分解为沿斜坡向下的分力F1和垂直斜坡向下的分力F2，由摩擦角不变可知，斜坡对物体的作用力大小变大但方向仍沿竖直向上不变，由牛顿第三定律可得，物体对斜坡的作用力方向竖直向下，所以斜坡没有运动趋势，地面对斜坡的摩擦力大小为零。

变式5 如图8，粗糙水平地面上有一斜面体，一物块在竖直向下的恒力F作用下沿斜面匀速下滑，若力F沿逆时针缓慢转过2θ的过程中，物块仍沿斜面下滑，斜面体始终保持静止。则地面对斜面的摩擦力（ ）

图8

A. 始终为零

B. 一直增大

C. 先增大后减小

D. 先减小后增大

解析：因为物块在竖直向下的恒力F作用下沿斜面匀速下滑，所以斜面给物体的作用力竖直向上，由牛顿第三定律得，物块对斜面的作用力竖直向下，所以地面对斜面的摩擦力为零；由变式4分析可知，若力F沿逆时针缓慢转过2θ的过程中，物块仍沿斜面下滑，斜面体始终保持静止。则地面对斜面的摩擦力始终为零。

通过变式教学，把原来比较抽象的摩擦角知识逐步渗透到上述的解题中，减少繁琐的数学计算，突出物理本质思想，有效克服了高一物理教学中数学知识滞后的难题。让学生充分体验成功的乐趣，在习题教学中发展学生科学思维能力，培养学生物理核心素养。

作者简介：

黄可建，浙江省温州市，浙江省泰顺中学。