彭涛，田仲初，梁潇, 2，成魁



基于多目标优化的磁浮轨道梁有限元模型修正

彭涛1，田仲初1，梁潇1, 2，成魁1

(1. 长沙理工大学 土木工程学院，湖南 长沙 410114； 2.湖南磁浮交通发展股份有限公司，湖南 长沙 410014)

基于精细有限元建模与多目标优化算法，建立一种适用于具有复杂附属结构的磁浮轨道梁有限元模型修正方法。以一座典型的磁浮连续轨道梁桥为研究对象，建立其精细初始有限元模型；在灵敏度分析的基础上选择待修正参数，利用模态频率和振型等结构实测动力响应构造修正目标函数；采用带精英策略的快速非支配排序遗传算法(NSGA-Ⅱ)对多目标优化问题进行求解，得到其Pareto最优解集。研究结果表明：模型修正后结构的模态频率和振型计算值与实测值吻合良好，修正后的有限元模型能够精确全面地模拟实际结构，且能确保设计参数合理且具有明确物理意义。

中低速磁浮；轨道梁；有限元模型修正；多目标优化

对桥梁结构进行健康监测、损伤识别、状态评估、剩余寿命预测，以及进行车桥耦合振动、抗风、抗震等复杂动力分析，都需要一个可以精确、全面反应结构真实状态的基准有限元模型作为基 础[1−4]。但由于桥梁各种材料物理参数的离散性与随机性，施工偏差造成的几何参数误差，有限元模型固有的阶次误差和不适当的简化，模型边界条件的失真模拟以及结构退化或损伤等原因，按照设计图纸和规范建立的初始有限元模型与实际结构不可避免地存在偏差，不能直接作为结构的基准有限元模型，需要依靠有限元建模技术和模型修正等实现基准模型的构建[4]。近年来，有限元模型修正得到了业界更多的关注，已成为桥梁工程领域的研究热点之一。REN等[5]提出了一种基于响应面的模型修正方法，并应用于洪塘大桥的模型修正。方志 等[4]基于灵敏度分析结合优化算法对一座斜拉桥模型进行模型修正，并对不同模式模型的计算精度和修正效果进行讨论。钟儒勉等[6]采用基于两阶段响应面法对灌河大桥的多尺度有限元模型进行修正。周林仁等[7]采用子结构方法对某斜拉桥模型进行模型修正。胡俊亮等[8]采用基于Kriging模型的方法对一连续梁拱桥进行模型修正。郁胜等[9]针对悬索桥的模型修正，提出一种基于径向基函数响应面方法。骆勇鹏等[10]采用基于逐步回归响应面法对一座铁路钢桁桥模型进行修正。SHAN等[2]提出一种结合子结构与响应面的有限元模型修正方法。混凝土梁桥作为一种在铁路、公路、城市立交、磁浮和轨道交通等工程中应用最为广泛的桥型，因受到跨越能力的制约，其规模通常小于大跨度拱桥、斜拉桥、悬索桥等桥型，在同样的测点密度下，通过静动力试验获得的实测数据样本相对较少。因此，在对其进行模型修正时，为了获得更好的修正效果，研究者在早期的单目标模型修正方法的基础上提出了考虑多个目标的模型修正方法，其通常做法是对多个单目标进行加权求和组合成一个新目标函数，从而将其转化成单目标优化问题求解。起初，研究者对单目标进行组合时，采用的是不变的权系数；随后，何涛等[11−12]指出不变权系数的处理方法忽略了不同目标函数在修正优化迭代过程中精度和数量级的差异，为了弥补这个不足，提出了动态权重系数方法，并分别运用在混凝土梁桥、曲线连续梁桥的模型修正中。动态权重系数法虽然考虑了不同目标以及其子目标的重要性，但不同类目标的量纲不一致，不易作比较，且权重系数的取值方法目前还缺少相应的研究和理论支撑，其有效性和适用性有待进一步验证，具体实施时每个目标及其分量都需计算权重，其过程较繁琐。在上述研究成果基础上，本文采用基于种群操作的多目标优化算法来求解考虑多个目标的模型修正问题，以长沙中低速磁浮交通中一座典型连续轨道梁桥为背景，形成一种适用于具有复杂附属结构的磁浮轨道梁的有限元模型修正方法。

1 多目标优化理论

1.1 多目标优化问题的数学描述

最优化问题中，当优化问题的目标函数只有一个时称之为单目标优化问题；目标函数有2个或大于2个，且需要被同时处理的优化问题就被称之为多目标优化问题。在工程应用、生产管理以及国防建设等实际问题中的优化问题大多数是多目标优化问题，其数学描述如下[13]：

式中：为维决策向量；为目标向量；为目标函数个数；()定义了个由决策向量向目标向量的映射函数；f()是第个目标函数；g()为不等式约束；h()为等式约束；和为约束的个数；x−max和x−min为第维向量搜索的上下限。

图1 双目标优化问题的Pareto前沿

1.2 NSGA-Ⅱ多目标优化算法

目前，多目标优化算法分为传统优化算法和智能优化算法两大类。以单点搜索为特征的传统优化算法的核心思想是将多目标函数转化为单目标函数，采用常规单目标优化算法实现对复杂多目标优化问题的求解，包括加权法、约束法和线性规划法等[13]。随着各种智能算法和计算机技术的发展，科研人员开始采用多目标粒子群算法、模拟退火算法、进化算法和蚁群算法等[13]智能优化算法求解多目标优化问题，这些以种群操作为特征的多目标演化算法可同时搜索可能的解，从而在一次运行中就可以得到非劣解集，且对所求问题的Pareto阵面的形状和连续性并不敏感，因此该类算法在求解实际的多目标优化问题时适用性更广、功能更强大。其中，属于进化算法范畴的带精英策略的快速非支配排序遗传算法(Non-dominated sorting genetic algorithm-II，NSGA-Ⅱ)是一种经典的多目标优化算法，该算法是Deb等[15]于2000年在NSGA算法的基础上提出的，是目前为止最卓越的多目标优化算法之一，本文采用该算法求解模型修正的多目标优化问题。

NSGA-Ⅱ算法的基本思想为：首先，随机产生规模为的初始种群，非支配排序后通过遗传算法的选择、交叉和变异3个基本操作得到第1代子代种群；其次，从第2代开始，将父代种群与子代种群合并，然后进行快速非支配排序，同时对每个非支配层中的个体进行拥挤度计算，根据非支配关系以及个体的拥挤度选取合适的个体组成新的父代种群；最后，通过遗传算法的基本操作产生新的子代种群；依此类推，直到满足程序结束条件[16]。NSGA-Ⅱ算法相对于NSGA算法具有以下优越 性[15]：1) 计算复杂度由原来的(3)降为(2)，其中为目标函数个数，为种群规模；2) 采用拥挤度和拥挤度比较算子，代替NSGA中需要人为指定共享参数的适应度共享策略，使准Pareto域中的个体能扩展到整个Pareto域，并均匀分布，保证了种群的多样性；3) 引入精英策略，扩大采样空间，避免优秀个体流失，改善了算法的鲁棒性和收敛速度。

2 工程背景

长沙中低速磁浮工程是我国首条拥有完全自主知识产权的中低速磁浮线路，其全长18.55 km，连接长沙火车南站和黄花机场，全程采用高架桥梁敷设，轨道梁桥型均为混凝土简支或连续梁。在磁浮车辆通过桥梁区段时，桥梁的动力特性对车辆的悬浮稳定性、动力响应以及乘车舒适性有显著的影响，容易出现车桥耦合振动问题，因此需要建立一个精确、全面反应桥梁结构真实状态的基准有限元模型作为基础进行相关研究。

本文选取长沙中低速磁浮工程中一座典型的混凝土连续轨道梁桥为研究对象，其跨径组合为25+35+25 m，由两分离式箱梁组成，各箱梁上分置磁浮工程的两线，两线间距为4.4 m。单线轨道梁截面类型为单箱单室等高预应力混凝土箱梁，箱梁顶面宽1.3 m，底面宽1.4 m，中心梁高2.42 m。两分离箱梁通过端横梁、中支点横梁、跨中横梁连接，两侧箱梁对应各横梁位置设置箱内横隔板。箱梁及横梁的材料均为C50混凝土，横梁待箱梁施工完成后再后浇形成。轨道梁桥墩采用花瓶型独柱墩，材料为C40混凝土。轨道梁立面如图2所示，横断面如图3所示，竣工照片如图4所示。

单位：cm

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图4 轨道梁竣工照片

轨道梁上各类设施构造复杂，其中F轨是使磁浮车辆实现悬浮并给其提供导向及牵引力的基础构件，是轨道结构最重要的部件。F轨通过H型钢轨枕、承轨台和连接件等形成轨道结构，把其承受的荷载传递到轨道梁上。除了轨道结构，轨道梁上还作用有检修通道、电缆及其支架、接触轨、漏缆、AP天线、安全护栏等附属设施，磁浮轨道结构示意如图5所示。

单位：mm

在桥梁施工及线路设施安装完成后，对大桥进行全桥静载试验和模态测试，其中桥梁模态试验是在环境激励下进行，桥梁振动加速度信号由传感器拾振并通过放大器放大再由采集仪采集，采样频率为100 Hz，采用中国地震局工程力学研究所研制的941B型拾振器，拾振器布设于桥面，其顺桥向布置情况如图2所示，横桥向布置于两侧箱梁中心线上，全桥共布置36个测点，测试时采用胶泥将拾振器黏贴在混凝土表面。振动信号由结构模态分析软件MaCras进行采集操作和处理，得到桥梁的前10阶自振频率和振型，测试结果如表2所示。

3 初始有限元模型的建立

磁浮连续轨道梁上部结构主体由2道纵梁和18道横梁组成，属于典型的梁格受力体系，但其轨道结构及其他附属结构的构造较为复杂，F轨通过H型钢轨枕、承轨台和连接件与混凝土轨道梁形成组合受力结构，常规的基于空间梁单元的梁格法难以模拟主体结构与轨道等附属结构之间的相互作用，针对磁浮轨道梁的结构特点，为了实现对其刚度、质量、荷载和边界条件的精确模拟，尽量减少模型阶次误差和离散误差，采用大型软件ANSYS建立其精细有限元模型，具体单元选取及建模策略 如下。

为了全面和准确地模拟磁浮轨道梁的真实行为与工作状态，轨道梁纵梁、横梁采用三维实体单元Solid65建模；对于轨道结构，为了准确的模拟其刚度和质量，采用壳单元Shell63模拟F轨，采用三维梁单元Beam188模拟H型钢轨枕，F轨、H型钢轨枕和承轨台之间的连接采用节点耦合方式模拟；同时，为了控制计算规模和减少计算时间，桥墩采用三维梁单元Beam188模拟，轨道梁与桥墩之间的连接采用弹簧单元模拟，其弹簧刚度初始值按照支座刚度的换算值取值，桥墩底部采用固结边界条件；除轨道结构外的其他附属设施刚度较小，不考虑其刚度，采用均布荷载模拟其自重，按设计图纸确定荷载大小和施加位置。桥梁有限元模型的几何参数按设计图纸取值，材料参数按设计图纸和相关规范取值，建立轨道梁的初始精细有限元模型如图6所示。

图6 轨道梁精细有限元模型

4 磁浮轨道梁桥有限元模型修正

4.1 修正参数的选取

为了提高模型修正时的计算效率，修正后的有限元模型能精准地模拟实际结构，修正参数的选取是模型修正的一个关键环节。磁浮轨道梁的主要设计参数包括：混凝土纵梁、混凝土横梁、桥墩、F轨、H型钢轨枕和承轨台等构件的弹性模量与质量密度以及边界条件参数。依据工程经验先从这些参数中选出初始待修正参数，然后再对其进行灵敏度分析，选出最终的待修正参数。

对于混凝土纵梁、桥墩，由于混凝土材料的离散性较大以及模型中未考虑普通钢筋的原因，将混凝土纵梁、桥墩的弹性模量与质量密度都作为初始的待修正参数。混凝土横梁虽然与纵梁一样采用C50混凝土，但考虑到混凝土横梁施工是后浇的，其性状可能与纵梁不完全一致，故将其弹性模量与质量密度也作为区别于纵梁的初始待修正参数。对于F轨、H型钢轨枕和承轨台，前二者属于钢结构，其材料弹性模量和密度较为稳定、离散性很小，且其刚度和重量相对于混凝土轨道梁均较小，承轨台虽然是混凝土材料，但其尺寸和刚度都较小，三者的弹模和重度参数均不作为初始待修正参数。对于轨道梁与桥墩之间的支座，因其水平横向刚度对结构的横向振动频率有一定影响，故分别把边、中墩上支座的水平横向刚度值作为初始待修正参数。

利用差分法计算各指标对各参数正则化后的相对灵敏度如下[9]：

式中：Δ可取p/100；p为待修正参数的初始值；S为各指标关于修正参数的灵敏度。结构响应向量是指模态频率、振型等特征量及其组合。

上述初始修正参数的灵敏度分析结果如图7所示，从图中可以得出，横梁的容重属于灵敏度较小参数，除这个参数外其余7个参数均作为本次修正的待修正参数。为了确保修正参数具有明确的物理意义，修正后能贴近桥梁真实状况，根据设计图纸、相关规范及工程经验对修正参数的取值进行了限定。考虑到混凝土的弹性模量离散性较大，其变化范围取为±30%；混凝土的容重变化范围取为±20%；对于支座的横向刚度初始值难以精确计算，可能存在一定偏差，采用±50%的变化范围。最终选定的7个待修正参数及其初始值和变化范围如表1所示。

图7 参数灵敏度分析

表1 待修正参数

4.2 目标函数

由于基于多目标优化的有限元模型修正方法是同时对多个目标函数进行优化计算，且这些基于不同残差的各目标函数之间相互独立，因此不需要考虑不同目标函数的权重，可根据桥梁静动力实测数据构造不同的目标函数。针对本桥模态测试和模型计算数据构造频率和振型的目标函数如下：

4.3 模型修正过程

参数型有限元模型修正的本质是结构参数优化的问题，本文基于多目标优化的磁浮轨道梁有限元模型修正的本质是以构建的包含频率和MAC的目标函数为优化目标，采用NSGA-Ⅱ算法进行多目标优化，寻求非劣解。模型修正具体实施是通过在数学软件MATLAB和有限元分析软件ANSYS中自编程序将NSGA-Ⅱ多目标优化算法和有限元分析结合起来实现优化求解。有限元建模和分析在有限元软件ANSYS中完成，多目标优化过程在数学软件MATLAB中实现，ANSYS的批处理启动模式(Batch模式)与MATLAB的强大运算和集成功能使得二者可以有机结合。在Batch模式下，ANSYS在后台启动并运行指定的APDL命令文件，并输出指定结果；ANSYS分析完成后，MATLAB程序再调用ANSYS的分析结果进行优化计算，模型中ANSYS的输入、计算和输出全部采用APDL语言编程完成。编制基于NSGA-Ⅱ算法的磁浮轨道梁桥有限元模型修正的程序系统，其流程如图8所示。多目标标优化参数设置：种群规模为60，最大进化代数50，交叉概率0.9，变异概率0.1，初始种群如图9所示。

4.4 模型修正结果

按设定的参数进行若干代优化计算后，得到磁浮轨道梁桥有限元模型修正非支配个体分布及其Pareto前沿如图10所示，从图中可以看出，Pareto解在前沿上的分布较为均匀、形态较好，保持了较好的多样性，Pareto前沿曲线上的最凸点明显，获得了一个较好的协调最优解，该解对应的修正前后的频率和MAC值比较见表2，修正参数与修正前的对比情况如表3所示。从表2可看出，修正后有限元模型的计算频率与实测频率更加吻合，频率偏差最大对应振型为横向6阶弯曲，相差1.01%，其余各阶频率相差都在1%以内；修正后各阶振型的MAC值也得到改善，均大于0.90，表明修正后各阶计算振型和理论振型相关性较好。从频率和MAC的修正结果来看，基于多目标优化的磁浮轨道梁桥有限元模型修正取得了较好的效果。

图8 有限元模型修正流程图

图9 初始种群

图10 Pareto最优解

从表3中可得，修正后轨道梁和桥墩材料的弹性模量比规范规定值均有一定幅度的提高，主要是因为混凝土材料弹性模量本身的离散性及混凝土内配有大量钢筋的原因；轨道梁和桥墩材料的容重参数也比初始值有一定的提高，这主要是因为混凝土内配有大量钢筋，折合容重比纯混凝土有一定的提高；横梁虽然与纵梁都采用C55混凝土，但横梁是后浇施工，其材料弹性模量修正结果略大于规范值，但小于纵梁材料弹性模量值；边墩和中墩支座横向刚度值修正幅度都较大，分别达到38.29%和20.46%，可见，在初始有限元模型中，对模拟支座横向约束的弹簧刚度初始值确定有一定的难度。综上所述，修正后的设计参数均处于参数的可能取值范围内，除支座刚度参数外没有出现修正过大的参数，采用多目标优化算法的模型修正在取得较好修正效果的同时，确保了设计参数的物理意义。

表2 模型修正前后动力特性

表3 模型修正前后参数值

5 结论

1) 针对具有复杂附属结构的磁浮轨道梁结构，采用实体、壳、梁单元等建立其精细初始有限元模型，该模型能精确模拟轨道梁与轨道结构之间的相互作用，减少了模型的阶次和离散误差，为高效的有限元模型修正奠定了基础。

2) 采用带精英策略的快速非支配排序遗传算 法(NSGA-Ⅱ)对一座磁浮连续轨道梁桥有限元模型进行多目标优化修正，获得分布较均匀的Pareto非劣解集，在此基础上，利用最凸点法得到了Pareto解集中的协调最优解。

3) 基于多目标优化的有限元模型修正方法不但能避免现有的模型修正方法中将多个子目标函数组合转化为单目标函数时人为确定权重系数给模型修正带来的主观性影响，而且模型修正效果也较为理想，修正后的有限元模型能够精确全面地模拟实际结构，且能确保设计参数合理且具有明确物理意义，可作为该桥的基准有限元模型。

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Research on finite element model updating of maglev track beam based on multi-objective optimization

PENGTao1, TIAN Zhongchu1, LIANG Xiao1, 2, CHENG Kui1

(1. School of Civil Engineering, Changsha University of Science & Technology, Changsha 410114, China; 2. Hunan Maglev Transportation Development Co., Ltd, Changsha 410014, China)

Based on the fine finite element modeling and multi-objective optimization algorithm, a method for finite element model updating was proposed to get the baseline finite element model of maglev track beams with complex auxiliary structures. Taking a typical maglev continuous track beam bridge as the research object, a fine initial finite element model was established. Based on sensitivity analysis, we choose the parameters to be corrected, and used the measured dynamic responses of modal frequencies and mode shapes to construct the modified objective function. The multi-objective optimization problem was solved by NSGA-II algorithm. Thus, the Pareto optimal set of multi-objective optimization problem with finite element model updating was obtained. The results show that the modal frequency and the calculated value of the model are in good agreement with the measured values. The modified finite element model can accurately and comprehensively simulate the actual structure, and it can ensure that the design parameters are reasonable and have clear physical meaning.

medium and low speed maglev; track beam; FEM updating; multi-objective optimization

10.19713/j.cnki.43−1423/u.2019.01.024

U448.21；TU311.4

A

1672 − 7029(2019)01 − 0176 − 09

2018−04−28

国家自然科学基金资助项目(51478049)；湖南省科技重大专项资助项目(2015GK1001)；长沙理工大学土木工程优势特色重点学科资助项目(11ZDXK07)；长沙理工大学桥梁工程开放基金资助项目(11KA04)

田仲初(1963−)，男，湖南慈利人，教授，博士，从事桥梁结构分析与施工控制、健康监测方面的研究；E−mail：382525361@qq.com

(编辑 阳丽霞)