常培林

摘 要：Stokes公式是一般的积分公式，Stokes公式的一维形式上就是微积分基本N-L公式，二维情形上则是Green公式，三维空间上是Gauss公式，在曲面上表现为通常意义上的Stokes公式。所以思考由低维向高维公式的转换思想以及一般的Stokes公式的证明，实现Stokes公式在四维空间上的推广，并将所得结果和一般的Stokes公式进行对比，验证其正确性。

关键词：Stokes公式；Green公式；Gauss公式；四维空间推广

1 前言

N-L公式、Green公式、Gauss公式、Stokes公式这个公式在数学分析中有着非常重要的地位，纵观这几个公式之间有着共同的特点：

（1）他们基本上是把从区间或区域上的计算转化到边界上计算，如Green公式是从平面区域转化到边界曲线L上的；

（2）他们分别是从一维空间到二维空间再到三维空间上的转换.

根据以上叙述，我们发挥发散性思维：是否可以推广到思维空间呢？以下将对此问题进行研究。

2 预备知识

2.1 N-L基本公式

设 是 上连续，设F是 在 上的一个原函数，则：

（2.1）

公式（2.1）就称之为N-L（牛顿-莱布尼兹）公式。

2.2 Green公式

设D为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通区域。如果函数 ， 在D上具有连续偏导数，那么：

（2.2）

公式（2.2）即成为Green公式，其中L+表示沿D的边界的正方向。

2.3 Gauss公式

设 是 中由光滑或分片光滑的封闭曲面 所围成的二维单连通封闭区域， ， 与 在 上具有连续偏导数，

则 ，即：

（2.3）

公式（2.3）就称之为Gauss公式，其中 表示有向封闭曲面 的外侧。

2.4 Stokes公式

设S为光滑曲面或分片光滑的双侧曲面，其边界为光滑或分段光滑闭曲线 ，若 ， 与 在S及其边界 上具有连续偏导数，则有：

（2.4）

公式（2.4）就是Stokes公式，其中 取S的诱导定向。

3 三维空间内的Stokes公式的推广

3.1 Stokes公式与Green公式

Stokes公式是Green公式的推广. Green公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分间的关系， 而Stokes 公式则把曲面 上的曲面积分与沿着 的边界曲线的曲线积分联系起来. 下面的公式就叙述这种关系.

定理3.1.1：设 为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以 为边界的分片光滑的有向曲面， 的正向与 的侧符合右手规则， 函数 ，

， 在包含曲面 在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数， 则有公式

上式叫做Stokes公式.

3.2 Stokes公式与N-L公式

定积分的N-L（莱布尼兹）公式： ，如果把 看出是0-形式 在区间 的诱导定向边界 上的积分，则N-L公式也可以写成 。所以说N-L是Stokes公式的一维形式。

3.3 Stokes公式与Gauss公式

假设 是 中的分片光滑曲面， 是 的边界，记：

那么

也就是说Gauss公式有 ，也就是说Gauss公式是Stokes的三维推广模型。

4 Stokes的四维空间推广

根据以上三维空间内的Stokes公式的推广，在此将其推广到四维空间中，首先假设：

设K是 中由光滑或分片光滑的封闭曲面 K所围成的三维单连通封闭区域， ， ， 与 在K上具有连续偏导数，则：

（4.1）

其中 表示有向封闭曲面 的外侧。

证明：记：

那么

也就是说四维公式有 ，也就是说四维公式是Stokes的四维推广模型。

结语

综上所述，在一维的直线上，Stokes公式就是N-L公式；在平面上，Stokes公式就是Green 公式；在空间的情形；Stokes 就是Gauss 公式，Stokes公式是一般的积分公式，Stokes公式的一维形式上就是微积分基本公式，二维情形上则是Green公式，三维空间上是Gauss公式，此推论在四维空间上同样适用。

限于本人水平有限，文中还有很多地方值得深思和延伸，希望在今后的研究中能够加入深入。

参考文献

[1] 褚衍彪. N-L公式、Green公式、Gauss公式、Stokes公式縱横谈[J]. 科教文汇旬刊， 2007（11）：184-185.

[2] 宋来忠. Gauss映照非退化的曲面及利用Stokes公式所得的一些整体性质[J]. 湖北科技学院学报， 1987（s1）：23-28.

[3] 刘红玉， LIUHong-yu. Stokes公式及其在高维空间中的推广[J]. 广东技术师范学院学报， 2015， 36（2）：6-8.