求不定积分的分部积分法

2019-02-28杨付贵

科学与财富 2019年1期

杨付贵

摘要：分部积分法是不定积分的一种重要方法之一，它对某一类积分有特效，其他方法不行。分部积分法也是不定积分中的一个难点。在教学中，如何采用简单可行的方法，使学生们正确的理解"反·对·幂·三·指"的含义，准确的确定出哪个函数作为u和哪个函数和dx凑成dv是重中之重。然后，通过代公式，再微出来，最后积出来求出不定积分。

关键词：分部积分；不定积分；微积分

分部积分法是不定积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。也是不定积分中的一个难点。学生们在学习（或复习）不定积分的分部积分法时，对其使用并不熟练，特别是对于文科的学生，不知什么时候用不定积分的直接方法，什么时候用不定积分的换元法，什么时候用分部积分法，用分部积分法解题的技巧表现得更生硬。下面我结合自己三十多年讲授高等数学的体会，谈一下分部积分法的使用要点与技巧。仅供大学生学习不定积分的分部积分法时参考。

一、分部积分法的方法与步骤

由于积分与微分互为逆运算。所以分部积分法是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。即

其中积分比

易求。

由此不难得到分部积分的步骤：

第一步：凑dv；第二步：代公式；第三步：微出来；第四步：积出来。

其中第一步凑dv是关键，如果凑的不合适，就有可能使得后面的积分比前面的积分更复杂，更难积分，那么究竟如何凑dv呢？对于这个问题，我们下面进行详细的讨论，而第三步也很重要，否则，作着作着又作回去了。

二、使用分部积分法的基本条件

什么时候用分部积分法呢？一般地说，对于被积函数是幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数这几类初等函数中的某两类函数乘积形式时，应使用分部积分法，分部积分法对这一类积分有特效，其他方法不行。当然，分部积分法对于其他的一些积分有时也会起到立竿见影的效果。比如：

例1：已知的一个原函数是，求。

解：

所以

例2：求

解：

所以

三、分部积分法凑dv的原则

一般地，从要求的积分式中将凑成是容易的，但通常有原则可依，也就是说dv凑的不好，不仅不会使右边第二项积分变得精简，反而可能会更麻烦。分部积分法最关键之处就在于准确地选取，因为一旦确定，则公式中右边第二项积分中的也随之确定，但为了使式子得到精简，如何选取则要依的复杂程度决定，也就是说，选取的的原则，一是易求，二是一定要使公式中右边第二项积分

的形式更简单或更有利于求得积分。依照经验，常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的凑dv顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分。也就是说在分部积分中，我们凑dv，可以先确定u，剩下的便可凑成dv，而确定u有以下的优先规律：

对数函数、反三角函数 →多项式（或幂）函数 →指数函数与三角函数（主要指sinkx和coskx）

具体地说，我们是按照以下步骤先确定u的：

（1）先看被积函数中是否含有对数函数、反三角函数中的一种，若有的话就确定做u。（须指出：在我们现行的高等数学教课书上，关于计算积分题目中的被积函数，不可能有“对数函数×反三角函数”的形式）。

（2）如果被积函数中不含有上述两种函数中的任一种，再看有没有多项式函数（或幂函数），若有的话确定为u。

（3）如果被积函数中未含有上述三种函数，那么，一定是三角函数与指数函数乘积的形式（若不然，没必要使用分部积分法！）。这时，三角函数与指数函数都可以确定为u。

四、计算分部积分时的三种可能情景

那些相对简单点的题目，经过使用一次分部积分即可解决问题。如：

∫xcosxdx=∫xd（sinx）=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C。

可是，更多的题目仅使用一次是不够的，往往需要使用两次或多次的分部积分，甚至还需配合其它手法才能解决问题。一般可有以下几种情景：

1. 多次使用分部积分

例如：，對该式右端第二项

积分，再按此模式进行分部积分，有