刘惠篮 明浩

摘 要：《应用回归分析》是统计专业本科生的必修课程，编程能力也是统计专业学生所需具备的一项专业技能。本文，基于统计软件R，比较LS（最小二乘）与LPRE（最小乘积相对误差）估计。一方面强调学生R编程能力，另一方面通过随机模拟分析，让学生进一步理解高斯马尔科夫定理。

关键词：LPRE估计 LS估计 R软件 应用回归分析

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1672-1578（2019）01-0016-02

1 引言

《应用回归分析》是一门重要的本科生专业课，线性模型是一类重要的回归模型。LS估计是线性模型中最重要的估计之一。同时高斯马尔科夫定理保证了LS估计在一定的条件下（高斯马尔科夫条件），是最小方差线性无偏估计。

R软件是一种统计软件，由于其完全免费性，及强大作图能力，受到广大统计工作者的喜爱。通过学习统计软件，能让学生更加灵活的处理实际问题。理论与实际相结合，能够让学生更好的理解课程中的知识点。

本文通过编写函数，随机模拟，比较LS估计与LPRE估计的表现。可以提高学生对R软件的使用能力，加强学生对高斯马尔科夫定理的理解。

2 模型简介

线性模型是回归分析中最重要的一类模型，其结构如下：

Y=Xβ+ε （1）

其中，Y是n×1维因变量，X是n×p维自变量样本矩阵，β是p×1维未知参数，ε是n×1随机误差向量。

现实中，有些响应变量的取值范围是非负的，此时如果仍用线性模型对数据进行分析，是不合理的。对模型可考虑使用乘积模型，形式如下：

Y=exp（Xβ）+ε （2）

其中，Y是n×1维非负因变量，X是n×p维自变量样本矩阵，β是p×1维未知参数，ε是n×1维非负随机误差向量。

Chen等（2016）在最小化乘积相对误差（LPRE）的思想下，考虑了乘积模型的参数估计问题。具体来说，需要求取，使得

达到最小。通过简单计算可得：

LPRE（β）

由于最后一项与β无关，因此可以考虑最小化以下的目标函数：

LPRE（β）=Yiexp（-Xiiβ） +Yi-1exp（Xiiβ）-2

以上的LPRE函数是关于的非线性且无限次可微函数。R软件中的nlm函数，可用于求解多元变量非线性函数的极小值点。编写LPRE函数：

LPRE=function（X，Y）{

n=nrow（X）；p=ncol（X）

c=lm（log（Y）～X+0）$coeff

obj=function（t）{

sum（Y*exp（-X%*%t）+（1/Y）*exp（X%*%t））

}

beta=nlm（obj，c）$estimate

# Reporting

result = list（betahat=beta）

return（result）

}

观察模型（2），两边同时取对数，可以得到如下线性模型：

logY=Xβ+logε （3）

该模型的响应变量为logY，随机误差为logε，其中ε是正的随机误差向量。对于线性模型（3），我们可以得到其LS估计：

=（XTX）-1XT（logY）

3 数值比较

我们考虑如下的乘积模型，设置样本量为30，自变量的维数为3，参数β的真实值为（3，1.5，2），每一个自变量都来源于随机产生的标准正态分布随机数，且随机误差是来自于[0.5，1.608]上的均匀分布随机数（保证E（ε）=E（ε-1），此条件为LPRE估计满足渐近正态性所需条件）。有了以上的数据，就可以得到乘积模型中Y的值。

为了比较说明LPRE方法和LS方法的效果，我们重复试验500次，记录下两种方法的MSE，相关代码如下：

n=30；p=3；beta=c（3，1.5，2）

X=matrix（，n，p）；Y=rep（0，n）；epsion=rep（0，n）

MSE_LPRE=0；MSE_LS=0

BetaLPRE=matrix（，500，p）

BetaLS=matrix（，500，p）

for（a in 1：500）{

for（j in 1：p）{

X[，j]=rnorm（n）

}

epsion=runif（n，0.5，1.608）

Y=exp（X%*%beta）*epsion

BetaLPRE[a，]=LPRE（X，Y）$betahat

BetaLS[a，]=lm（log（Y）～X+0）$coeff

MSE_LPRE=as.vector（t（as.vector（BetaLPRE[a，]）-beta）%*%（as.vector（BetaLPRE[a，]）-beta））+MSE_LPRE

MSE_LS=as.vector（t（as.vector（BetaLS[a，]）-beta）%*%（as.vector（BetaLS[a，]）-beta））+MSE_LS

}

得到LPRE方法和LS方法500次模拟的平均MSE分别为：

> MSE_LPRE/500

[1] 0.01199179

> MSE_LS/500

[1] 0.01226336

通過比较可以发现， LPRE估计的MSE（0.01199）小于LS估计的MSE（0.01226），也就是说，在这种情况下，LPRE估计的效果比LS估计的效果好。

这是由于以上的例子中，随机误差是来自于[0.5，1.608]上的均匀分布，logε不满足高斯马尔科夫条件，在这种情况下，LPRE估计优于了LS估计。

4 结语

通过在《应用回归分析》课程中，介绍近年来统计学工作者的一些研究工作，通过R软件实现相应结果，并和最小二乘方法相比较，让学生提高编程能力，并认识到LS估计并不是在所有情况下都优于其他方法。

参考文献：

[1] 唐年胜，李会琼.应用回归分析[M].科学出版社，2014.

[2] 何晓群.多元统计分析（第四版）[M].中国人民大学出版社， 2015.

[3] 薛毅，陈丽萍. 统计建模与R软件[M].清华大学出版社，2007.

[4] Chen K. Lin Y. Wang Z. Ying Z. Least product relative error estimation[J].Journal of Multivariate Analysis，2016，144：91-98.

[5] 胡大海.基于乘积相对误差准则的模型研究[D].中国科学技术大学，2017.

作者简介：刘惠篮（1988-），贵州贵阳人，女，博士，贵州大学数学与统计学院讲师，研究方向：统计建模。

明浩（1997-），河南信阳人，男，贵州大学数学与统计学院学生，研究方向：统计建模。