内江师范学院数学与信息科学学院 王滟林

内江师范学院数学与信息科学学院 熊 露

内江师范学院数学与信息科学学院 赵思林

反证法既是证明数学命题（猜想）的常用方法，也是解决数学探索性问题的通性通法，还具有发现数学知识的功能.虽然“反证法是数学重要的基本方法”得到了数学家们的普遍认同，但从近年来中学数学教学的实际来看，一些教育专家并未充分认识到反证法的教育价值，大有弱化或淡化反证法的趋向.

一、反证法的教育价值

反证法的教育价值包括文化价值、思维训练价值、方法论价值与应用价值等.

（一）反证法的文化价值

1.反证法的产生

反证法的形成经过了漫长的时间.反证法的思想启蒙可以追溯到古希腊.古希腊的数学在毕达哥拉斯学派的影响下，人们认为宇宙图式是由整数和几何图形构成的.但随着等问题的出现，希腊人开始重新审视数学，放弃了以数为基础的几何.这一次数学危机使希腊人意识到不能只依靠图形和直观来认识和看待数学，而是需要更多的理论推理与逻辑.此阶段的希腊数学倡导以证明为主，他们追求逻辑严密的数学，或者说他们要求数学具有逻辑的严密性.所谓数学的逻辑严密性是指：不是要近似的数学，而是要对数学命题给出严格的证明以保证命题的准确性，逻辑的严密性不能只依靠直观，需有严密的逻辑推理作论证.其表现形式是：逻辑严密，演绎的体系.希腊人除了重视逻辑和演绎证明，也搞数值计算（尤其是希腊后期）.希腊人认为数值计算是一种理论证明后的运用，这一观点到现在来看也是正确的.古希腊人的“数学证明不要近似，不靠直观，而是靠严密的逻辑推理”的理念，对2000多年来的数学发展产生了极为深远的影响，直到今天其影响仍然存在.

逻辑学是研究思维规律的科学.古希腊人2000多年前就非常重视逻辑学的研究与应用，并由此而产生了欧几里得的《几何原本》.西方逻辑学始于柏拉图，并在亚里士多德时期极盛.柏拉图认为数学应从简单明了的绝对假设开始，通过一系列的逻辑推理来得出所求结论.柏拉图的假设法具有重要的历史意义，并且在逻辑方法上是亚里士多德的先驱.H·伊夫斯在《数学史概论》中写道：“…萨谢利读欧几里得的《原本》，简直让其得力的归谬法迷住了，…在萨谢利的《逻辑证明》一书中，有创建的是：把归谬法应用于欧几里得平行公设的研究.”这里面的归谬法虽然不是完全意义上的反证法，但是一种排除错误情况的方法.虽然没有形成反证法，但这种论证方法（归谬法）为反证法的发展奠定了思想基础.

2.反证法的发展

反证法最早由古希腊哲学家、数学家埃利亚派的芝诺发明，其含义是“归于不可能的（reclucito ad impossible）方法”.芝诺被亚里士多德誉为辩证法的发明人.公元前330年，欧几里得在证明“两线相交，只有一个交点”时运用了反证法.欧几里得在编写《几何原本》时也运用了反证法.在公元前400年，欧多克斯运用反证法证明了“圆锥、棱锥的体积是等底、等高的圆柱、棱柱体积的三分之一”.1589年意大利物理学家伽利略应用反证法推翻了维系近两千年之久的古希腊哲学家亚里士多德关于“不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比”的断言.

（二）反证法的思维训练价值

作为一种常用的数学证明方法，反证法是通过证明论题的否定命题的不真实，从而肯定原论题真实的证明方法.反证法不仅具有广泛的应用价值，而且具有良好的思维训练价值，被誉为“数学家最精良的武器”.反证法的思维训练价值体现在以下几方面：一是弄清反证法的理论体系，需要系统学习、理解内化、迁移应用，这都必须要动脑筋；二是反证法在各种数学问题情境下的广泛应用为学生锻炼数学思维提供了用武之地，因此可以说，反证法是锻炼数学思维的体操；三是反证法有固定的解题模式（三步：反设—归谬—结论），让学生“有章”可循，可以有效地锻炼学生的逻辑思维；四是反证法可以锻炼逆向思维，由于反证法的第一步“反设”（或“假设”），实质是对论题（命题的结论）进行否定，这就涉及逆向思维，在证明了“论题的否定命题的不真实”后，再否定第一步所做的“反设”（或“假设”），这里又要用到逆向思维，也就是说，使用反证法需要两次用到逆向思维，这对训练中国国民的逆向思维是有好处的，还有应注意到逆向思维蕴含创新思维的特点；五是反证法的“归谬”方法从理论上讲可以有很多种甚至有无穷多种，这显然可以训练学生思维的发散性和灵活性；六是介绍“用反证法的思想导致非欧几何的发现”这个经典故事，让学生了解反证法的发现（数学）功能，可以激发学生的创造性思维；七是反证法提供了从论题（事物）的反面思考问题和解决问题的一种思维范式，这种思维范式不仅是解决问题的有力工具，而且是具有普适性的思维方法，更是激发创新思维的重要手段；八是反证法的思维模式暗含质疑和批判性思维，这无疑能培养学生的质疑批判精神，有效地训练学生的批判性思维.此外，反证法可以解决大量的存在性、探索性问题，这无疑能训练学生的探索性思维、数学抽象思维、逻辑思维、算法思维、数学模型思维等.可见，反证法是训练数学思维的有效载体.

（三）反证法的方法论价值与应用价值

数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法及数学中的发现、发明与创新等一般法则的一门学问.反证法的方法论价值体现出反证法是一种全息方法，既具有解决一些数学疑难问题（如证明题）的功能，又能解决数学探索性问题，还具有知识发现的功能.数学命题的证明既是理解数学命题的重要方法，又是数学教学的难点.特别是学生学习数学普遍害怕数学证明.对此，可考虑借助反证法来突破数学证明这个教学难点.很多数学证明的问题（猜想）用直接证法会比较困难或麻烦，如立体几何中直线与平面平行的判定定理的证明至今尚未看到直接证法，这时采用反证法是最佳的选择.

用反证法可以证明许多数学命题.有人比较系统地总结了适合用反证法证明的几类问题：（1）待证命题的结论以否定判断（如“没有……”、“不……”，等）形式出现；（2）待证命题的结论属于“唯一性”的命题；（3）待证命题的结论是无限的，结论涉及的对象无法一一列出；（4）一些不等式命题的证明；（5）待证命题的逆命题是正确的；（6）待证命题的结论以“至少”或“至多”等形式出现；（7）几何学中的一些判断定理（如直线与平面平行的判断定理，平面与平面平行的判断定理等）；（8）某些命题直接证明比较困难或麻烦等.

反证法（的思想）是解决数学探索性问题的通性通法，但这个理论在教学中并未得到应有的重视.数学探索性问题是培养和考查学生数学探究意识、探究能力和创新意识的典型问题.数学探索性问题的范式：“是否存在…，使得…？如果存在，求出…；如果不存在，请说明理由.”解答这类探索性问题一般可以考虑使用反证法.

反证法具有知识发现的功能，一个最著名的例子就是数学家用反证法的思想发现了非欧几何.数学家在2000多年里总是想方设法去直接证明欧几里得几何的第五公设（平行公理）的正确性，但均以失败告终，由此数学家对第五公设（平行公理）的可证明性产生了怀疑，一些数学家就产生了“第五公设不可以证明”的想法，最终由数学家罗巴切夫斯基、波尔约等各自利用反证法的思想发现并提出了非欧几何.非欧几何的诞生充分体现了反证法的思想价值.

反证法是学习高等数学不可替代的数学基本方法之一.如在数学系的三门基础课程《数学分析》《高等代数》《解析几何》中，反证法有数十次的应用.以张禾瑞主编的《高等代数（第五版）》为例，该书中运用反证法去证明的定理不少于15个、例题不少于4道、课后习题不少于10余次.这在一定程度上说明了反证法对学习高等数学的重要性和必要性.反证法对学习其他所有的高等数学课程几乎都是必要的.因此，从学生终身学习的角度看，反证法是学生终身学习应具备的数学核心素养.

二、反证法的教学难点分析与教学建议

（一）反证法的教学难点分析

反证法是公认的教学难点.认准难点方可因“难”施教.我国反证法教学困难的原因是多方面的.

我国反证法的教学困难之一在于受古代数学文化及思维习惯（惯性思维）的消极影响.中国古代数学长期对演绎证明不重视，加之中国古代的逻辑学不完备.致使中国没有将演绎推理更近一步地向反证法发展.从严格意义上讲，中国古代并没有真正运用过反证法，即是说，中国古代数学文化的基因中缺少反证法这个“精良的武器”.又因反证法可培养人的理性思维，因此，我国适当加强反证法的教学对培养学生的理性思维是有益的、必要的.

对反证法的科学性、正确性的认识，依赖于反证法的逻辑基础.反证法的逻辑根据是：“p→q”≡“¬（p∧¬q）”（注：此公式可用真值表来证明）.这个公式表明，蕴涵式“p→q”与“¬（p∧¬q）”同真同假，即欲证明“p→q”为真，当且仅当“¬（p∧¬q）”为真.借助于基本逻辑联结词“蕴涵”，反证法的步骤可解释如下：第一步，否定（“若p，则q”）：p∧¬q；第二步，推理：p∧¬q⇒矛盾（“⇒”表示“推出”）；第三步，否定（p∧¬q）：“p∧¬q”假，则“¬（p∧¬q）”真，又由于“p→q”≡“¬（p∧¬q）”，故“若p，则q真”.可见，反证法的本质是通过证明该“论题的否定为假”，从而断言该“命题为真”.因此，“论题的否定”、“正确的推理”、“（构造）矛盾”是反证法的三个要素.即使把这些理论都教给学生，恐怕很多学生也难以全部理解.况且，我国高中学生没有学习基本逻辑联结词“蕴涵（若p，则q；或p→q）”，导致教师没有办法给学生讲清楚反证法的逻辑依据，从而，学生也就没有办法真正理解反证法的理论与方法.也可以说，我国高中学生对反证法是“只知其然但不知其所以然”，学生处于半懂不懂的状态.这可能是我国反证法教学的一个先天性缺陷（问题），也是反证法难教难学的一个根本原因.其实教材可以以“阅读材料”的方式把反证法的逻辑基础讲清楚，让学有余力的学生自主学习.

反证法的逻辑依据具有理论深刻、概念抽象、符号繁多、认知加工困难等特点，并且与学生潜意识及日常生活经验有较大距离，学生难以建立学习反证法的最近发展区，教师也难以采用最近发展区理论施教，这就容易造成反证法的难教难学.因此，只有通过有意识的训练，学生才能掌握反证法.

反证法理论本身既属于陈述性知识又属于程序性知识，在解决具体问题时还要用到认知策略知识.因此，反证法是多种知识的综合体现.这也是造成难教难学的重要原因.

教学经验表明，不少学生只是基本理解反证法的一般步骤，但有相当一部分学生对使用反证法的时机把握不准.学生在运用反证法时容易出现下面的问题：一是反证法的理论依据弄不明白；二是什么样的命题可使用反证法；三是对反证法中的“反设”不理解；四是反证法中的“归谬”方法出现障碍或困难，从理论上讲，反证法的归谬方式有无穷多种，学生很难理解.

我国许多学生不善于应用反证法与教材编写、考试要求、老师水平有密切关系.由于高中教材淡化了反证法的内容并减少了典型例题，在考试中对反证法知识点的考查较少，因此，教师对反证法的教学也淡化了，直接导致学生的学习时间和内容都相对不足，从而导致学生缺乏应用反证法解题的思维活动经验.

（二）教学建议

打好反证法教学的基础，具体体现在以下几个方面：一是系统介绍基本逻辑联结词“蕴涵”，了解反证法的逻辑依据；二是掌握反证法解题的一般步骤；三是解题时要正确分清题设和结论，找准命题的结论，强调反证法中的“反”字，并能对结论（即论题）写出正确的否定；四是让学生了解反证法使用的范围，如解某个问题若感到条件“不足”或无从下手时，不妨考虑使用反证法；五是适当讲点反证法的故事（文化），一些历史素材可作为教学素材，以提升课堂的文化品味；六是恰当运用陈述性知识、程序性知识、认知策略知识的教学原理，灵活选择教学方法有针对性地施教和学习；七是辅以典型案例，教师做好问题分析、解题书写等示范；八是适当增加教学时间，把教学进度慢下来，让学生充分消化知识，掌握方法，感悟思想.

三、结束语

有助于培养学生核心素养的数学知识、方法、思想的数学是好的数学.反证法的思想深刻，方法普适，思维价值好，应用范围广，是学习高等数学重要的基础知识.因此，反证法是好的数学，理应予以重视.但进入21世纪后，随着课程改革的推进，对反证法的教学要求有降低趋势，最近10多年来涉及反证法的高考考题越来越少，有时甚至干脆不考，并且在新修订的《普通高中数学课程标准（2017年版）》中，“反证法”这三个字甚至没有直接出现在“必修课程”“选择性必修课程”之中，这是不太正常的事.对此，许多一线中学教师和大学教授都颇为担忧.因此，我们建议在下一次修订课标时，将反证法纳入必修课程，但教材和高考都应控制题目数量和难度，让更多学生能够学好反证法、掌握好反证法，为学生今后学习高等数学打好基础.