/黄 伟 王宗信

数学试题的命制不能一味以难为准，命题除了考查学生对学科知识和能力的掌握外，还要利于学生学科素养的形成。为此，我们可以在命题中加上一些铺垫，逐步使学生的思维升级。现以“两点距离”型试题的命制为例，说明具体的做法。

例 1：如图1-1，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，△ACD是等边三角形，DF⊥AC、垂足为F、与AB相交于点E，连接CE。

（1）证明：△AED≌△CED；

（2）P是直线 DE上的一点（图1-2），连接PB、PC。

①求证：PA=PC；

②若AB＝10，PB+PC是否有最小值，若有求出此时PB+PC的值，若没有请说明理由。

图1－1

图1－2

适用范围：在八年级上学期学生初学全等三角形、轴对称图形后，结合七年级所学的“三角形的两边之和大于第三边”以及“两点之间线段最短”，就可以在月考、期中考试使用这个系列的题组进行训练、考试。

命制思路：首先是考查学生对于等边三角形的轴对称性掌握情况，试题中“△ACD是等边三角形，DF⊥AC、垂足为F”考查了等腰三角形底边上的三线合一，可以得到直线DF是线段AC的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，易证△AED≌△CED，此处考查了学生全等三角形判定的学习情况。

直线DF是本题一条关键的直线，它贯通整个图形，它是对称轴，有了问题（1）的解决，问题（2）的求证只需利用垂直平分的性质便迎刃而解，同时也为解决最后一个问题起到了一个很好的铺垫。

利用前一问题中得到的结论，等量代换PB+PC=PB+PA，P 是动点，如图1－3当 A、P、B三点不共线时，△APB 中有 PB+PA＞AB（三角形的两边之和大于第三边），而A、B两点是定点，PB+PA就转化为两定点间连线的长，其长度何时最短可以根据基本事实“两点间线段最短”来解决，当且仅当A、P、B三点共线时（即P为直线DF与线段AB的交点时），PB+PA=AB，结合上述两种情况的探究可以得到PB+PA≥AB。……