兰建祥

摘要： 以电离平衡、溶解平衡为例，介绍了微粒浓度关系线性化的基本方法，旨在能帮助学生理解直线型平衡图像的本质，由此将数学知识渗透到解决化学问题的思维之中，培养和发展学生的思维品质。

关键词： 微粒浓度关系; 平衡常数; 线性化处理; 解题方法

文章编号： 10056629（2018）10008305中图分类号： G633.8文献标识码： B

1问题的提出

在2017年高考化学新课标Ⅰ卷中，有一道考查化学平衡图像的题引起广大师生的高度关注：

常温下将NaOH溶液添加到己二酸（H2X）溶液中，混合溶液的pH与离子浓度变化的关系如图1所示。下列叙述错误的是（）

该題考查的是有关平衡图像的问题，虽然考查的内容很常规，但这种直线型平衡图像让考生始料未及。绝大多数考生甚至不少化学教师在答题时无从下手，导致该题得分率极低。广大师生戏称此题为2017年高考化学新课标Ⅰ卷中最亮眼的一道题，于是把此类平衡图像问题作为本年度高三复习教学中的难点和重点进行突破。

2微粒浓度关系线性化的教学思考

2.1学生认知直线型平衡图像的障碍分析

常见的平衡图像是以pH为横坐标，以物质的量浓度或微粒的物质的量分数为纵坐标，如在2017年高考化学新课标Ⅱ卷中出现图2所示的图像：

随着溶液pH的变化，三种微粒之间相互转化，学生对此转化过程很容易理解，因而可以轻松解读图像所表达的化学含义。

那么，学生为什么难以理解图1中的图像呢？笔者认为，原因主要在于学生不清楚lg[c（HX-）/c（H2X）]或lg[c（X2-）/c（HX-）]与溶液的pH到底有着怎样的关系。换言之，学生完全不知道lg[c（HX-）/c（H2X）]或lg[c（X2-）/c（HX-）]与溶液pH之间的函数关系，当然也就难以理解图像所表达的化学含义。

2.2线性化处理的意义

将微粒浓度关系线性化，是处理有关微粒浓度关系的一种常用数学方法。对溶液中的某种平衡而言，各种微粒的浓度之间满足一定的关系，这种关系集中表现为相应的平衡常数表达式。在平衡常数表达式中，各微粒浓度之间的关系通常是非线性方程，对应的平衡图像为曲线。

如何将非线性方程线性化呢？其实，只需将平衡常数表达式两边同时取对数，则可将平衡常数表达式中的乘积关系转化为加减关系，从而实现关系式的线性化，对应的图像也由曲线转化为直线。显然，如果让学生明白这一点，自然就能从本质上理解图1中的图像意义。更为重要的是，可以让学生学会运用数学方法处理和变换化学关系式的方法，体会数学作为工具学科在化学中的重要应用，从根本上提升学生分析和解决平衡图像问题的能力。可见，开展微粒浓度关系线性化的深度教学有着非常重要的意义。

帮助学生搭建数学思维与化学思维的桥梁，打通运用数学方法分析平衡图像问题的思维通道。具体过程为： 先把化学问题抽象成数学问题（函数与图像的关系），再把数学问题具象为化学问题（赋予函数与图像以具体的化学含义）。通过化学与数学的学科交叉融合，实现对化学平衡原理与化学平衡图像问题的深度教学。

3微粒浓度关系线性化的教学设计

3.1铺垫： 把化学问题抽象成数学问题

把图1中的平衡图像抽象成如图3所示的数学图像，让学生写出图像中两条直线对应的直线方程，即直线M为y=x+5.4，直线N为y=x+4.4。对学生而言，这是一个非常简单的数学问题，目的是借此让学生明确图像中两个变量之间的函数关系，为后面的教学做好铺垫。

3.2发现： 弱酸电离平衡常数表达式的图像线性化

以二元弱酸H2S的电离为例： H2SHS-+H+， HS-S2-+H+。

结论： 将平衡常数表达式两边同时取对数，可实现平衡常数表达式的线性化（见表1）。

3.3体验： 已知碳酸的电离平衡常数画直线图像

给出碳酸的电离平衡常数： Ka1=10-6.4， Ka2=10-10.3，让学生动手画出溶液pH与lg[c（HCO-3）/c（H2CO3）]、pH与lg[c（CO2-3）/c（HCO-3）]的图像。学生可以画出如图4所示的图像{图中lgX=lg[c（CO2-3）/c（HCO-3）]或lg[c（HCO-3）/c（H2CO3）]}。

3.4建模： 直线型平衡图像问题的解决之道

以H2X的电离示例分析： H2XHX-+H+， HX-X2-+H+，其电离平衡常数表达式为： Ka1=[c（H+）·c（HX-）]/c（H2X）， Ka2=[c（H+）·c（X2-）]/c（HX-）。

焦点问题：

（1） 求算Ka1或Ka2的值;

（2） 判断图像中的两条直线与有关微粒浓度的对应关系;

（3） 判断NaHX溶液的酸碱性或比较NaHX溶液中有关离子浓度大小。

问题解决策略：

第1步： 根据电离平衡常数表达式建立相应的函数方程。

如： 根据Ka1表达式得pH=lg[c（HX-）/c（H2X）]-lgKa1①，根据Ka2表达式得pH=lg[c（X2-）/c（HX-）]-lgKa2②。

第2步： 取图像中两直线上的某一点，代入上述关系式，求出两条直线对应的Ka。

第3步： 由于Ka1>Ka2，比较第2步得到的两个Ka的大小可知Ka值较大者为Ka1，且Ka值较大者对应一级电离的平衡浓度关系式即式①。

第4步： 根据Kh=Kw/Ka1计算出Kh的值，比较Kh与Ka2的大小，据此判断HX-的电离与水解程度相对大小，从而判断溶液酸碱性或有关离子浓度的大小关系。若Kh>Ka2，则HX-的水解程度大于电离程度，NaHX溶液呈碱性，且c（Na+）>c（HX-）>c（OH-）>c（H2X）>c（X2-）>c（H+）;若Khc（HX-）>c（H+）>c（X2-）>c（H2X）>c（OH-）。

3.5进阶： 其他平衡常数表达式的线性化

3.5.1水的离子积常数（见表2）

水的电离方程式为： H2OH++OH-。

表2水的离子积常数表达式及其线性化

平衡常数表达式平衡常数表达式对数化

关系式Kw=c（H+）·c（OH-）pH+pOH+lgKw=0

变量关系c（H+）与c（OH-）为反比例函数关系pH与pOH为一次函数关系

图像形状曲线直线（斜率为-1）

示例（2013·山东）某温度下，向一定体积0.1mol·L-1的醋酸溶液中逐滴加入等浓度的NaOH溶液，溶液中pOH[pOH=-lgc（OH-）]与pH的变化关系如图5所示，则（）。

A M点所示溶液的导电能力强于Q点

B N点所示溶液中c（CH3COO-）>c（Na+）

C M点和N点所示溶液中水的电离程度相同

D Q点消耗NaOH溶液的体积等于醋酸溶液的体积

解析： Kw=c（H+）·c（OH-），两边取对数得pH+pOH=-lgKw，由此可知pOH与pH为线性关系。醋酸是弱酸，离子浓度较小，在滴加NaOH溶液的过程中，生成强电解质，溶液中离子浓度增大，则M点溶液的导电能力比Q点弱，A错;N点溶液呈碱性，即c（OH-）>c（H+），根据电荷守恒有c（CH3COO-）

3.5.2难溶盐的溶度积常数（见表3）

以AgCl的溶解平衡为例： AgCl（s）Ag+（aq）+Cl-（aq）。

示例（2017·全国卷Ⅲ）在湿法炼锌的电解循环溶液中，较高浓度的Cl-会腐蚀阳极板而增大电解能耗。可向溶液中同时加入Cu和CuSO4，生成CuCl沉淀从而除去Cl-。根据溶液中平衡时相关离子浓度的关系图（见图6），下列说法错误的是（）。

A Ksp（CuCl）的数量级为10-7

B 除Cl-反应为Cu+Cu2++2Cl-2CuCl

C 加入Cu越多，Cu+浓度越高，除Cl-效果越好

D 2Cu+Cu2++Cu平衡常数很大，反应趋于完全

解析： Ksp（CuCl）=c（Cu+）·c（Cl-），两边取对数得lgc（Cu+）=-lgc（Cl-）+lgKsp（CuCl）， lgc（Cu+）与-lgc（Cl-）成直线关系，lgKsp（CuCl）为纵截距。由图6可知，纵截距约为-6.7，即Ksp（CuCl）约为10-6.7，Ksp（CuCl）的数量级为10-7，A正确;反应物为铜、硫酸铜以及氯离子，生成物为CuCl，反应为Cu+Cu2++2Cl-2CuCl，B正确;加入固态物质Cu对平衡无影响，C错误;反应2Cu+Cu2++Cu的平衡常数K=c（Cu2+）/c2（Cu+），从图6中两条曲线上任取横坐标相同的两点对应的c（Cu2+）、c（Cu+）[如横坐标为0.5时，c（Cu2+）=c（Cu+）=10-6]代入计算可得K≈106>105，反应趋于完全，D正确。选C。

3.5.3难溶氢氧化物的溶度积常数（见表4）

以Cu（OH）2的溶解平衡为例： Cu（OH）2（s）Cu2+（aq）+2OH-（aq）。

表4难溶氢氧化物溶度积常数表达式及其线性化

平衡常数表达式平衡常数表达式对数化

关系式Ksp=c（Cu2+）·c2（OH-）lgc（Cu2+）+2pH=lgKsp-2lgKw

变量关系c（Cu2+）与c（OH-）为幂函数lgc（Cu2+）与pH为一次函数关系

图像形状曲线直线（斜率为-2或-1/2）

示例25℃时，Fe（OH）2和Cu（OH）2的饱和溶液中，金属阳离子的物质的量浓度的负对数[-lgc（M2+）]与溶液pH的变化关系如图7所示，已知该温度下，Ksp[Cu（OH）2]

A b线表示-lgc（Fe2+）与pH的关系，且Ksp[Fe（OH）2]=10-15.1

B 当Fe（OH）2和Cu（OH）2沉淀共存时，溶液中： c（Fe2+）∶c（Cu2+）=1∶104.6

C 向X点饱和溶液中加入少量NaOH，可转化为Y点对应的溶液

D 除去CuSO4溶液中含有的少量Fe2+，可加入适量CuO

解析： 因为Ksp[Cu（OH）2]c（Cu2+），故b线表示Fe（OH）2饱和溶液中的变化关系，再由图像可知，

4教学感悟

数学是研究人类思维方式的科学，是众多门类科学的工具。将数学知识渗透到化学教学中，实际上就是将化学问题抽象成数学问题，即在化学教学中引导学生运用已掌握的数学工具，通过分析化学变量之间的相互关系，建立一定的数学关系或构造数学模型，最终达到解决问题的目的[1]。通常来说，具体的研究方法是通过化学原理建立化学模型，再寻找研究对象间的量变规律，使用数学方法对模型进行处理，将其变为适当的数学模型，最后解决这个数学模型的问题，这样一来，原本的化学问题也就解决了[2]。

课程结构改革的一个重要方向就是实现多个学科间的交叉，在各学科教学中加强学科间的联系，尤其是对于数学这种基础性工具学科应用到其他学科中，将会有非常显著的效果[3]。将化学问题抽象成数学问题，既能激发学生学习的新鲜感和探求欲望，更可以让学生的思维得以飞跃，提升化学教学的品质。

高考化学考试说明中，对考生思维能力的考查有明确的界定，其中重要的一条就是“将化学问题抽象成为数学问题，利用数学工具，通过计算和推理（结合化学知识），解决化学问题的能力”。近年来高考命题已顺应新课改的要求，很大程度上实现了由“知识立意”向“能力立意”的转变，越来越重视和体现对学生综合素质、学科综合能力的考查。高考对教学的指挥棒效应，也正在促使化学教学必须注重培养学生运用数学方法分析和解决化学问题的能力，提升学生的学科综合素养。

参考文献：

[1]尹亚东.论化学教学中数学知识的渗透[J].湘潭师范学院学报（自然科学版）， 2002，24（4）： 120～125.

[2]靖晓風.浅谈数学与化学的关系[J].中文科技期刊数据库社会科学（引文版）， 2017，（1）： 51.

[3]曾鸣.数学与化学之间的关系[J].新课程（中旬）， 2016，（2）： 124.