冷东辉

高考全国卷中解析几何解答题是每年必考的内容，直线与圆锥曲线的位置关系中有关定点定值问题频频出现，对学生而言，期望的是：这类试题如何求解的？是否有方法可依？对教师而言，关注的是：这类试题是怎样命制的？是否有规律可循？现对2017年高考全国I卷理第20题进行分析探究，希望能对一线教师的教学提供参考.

2 试题解析

本题条件简单清晰，表述言简意赅，具有“低起点、宽入口、多层次、好区分”的特点，本题考查椭圆的概念、标准方程和几何性质以及直线与椭圆的位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法，考查推理论证能力和运算求解能力，

本题第（1）问是解析几何常见的待定系数法求曲线方程问题，设问较新颖，考查椭圆的基本知识，涉及的是解析几何的最基本方法，难度不高，不同层次的考生皆可以顺利解决问题，试题第（2）问的证明过程涉及的变量虽然很多，但应用的是解析几何基本知识与基本思想，本题注重通性通法，既为不同基础和能力的考生搭建能力活动平台，也使解析几何的思想方法在解答过程中得以完整展示，比较充分地考查了考生的逻辑思维能力、应用解析几何的思想解决问题的能力以及代数运算的能力，

考生的典型错误有以下方面：

（1）粗心审题：在第（1）问中，将四点P1，P2，P3，P4四点都代入椭圆方程，并正确求出a，b，没对P1的位置作出说明;

（3）逻辑思维不严密：在第（2）问中，未讨论直线l与x轴垂直的情形，缺少分类讨论的思想，只考虑用韦达定理，没有考虑到判别式是否大于0这个前提.

探究是数学教学的生命线，定点定值问题是揭示几何运动变化中的不变量问题，展示了数学的美，本题第（2）问有较好的探究价值，是非常不错的训练素材，在日常教学中我们教师要给予充分的重视，下面从不同的角度进行变式探究，寻求在动态的“变”中隐含定点定值“不变”的问题.

3 变式探究

（1）如果把该题中的“若直线P2A与直线P2B的斜率之和为-1”，改变为“若直线P2A与直线P2B的斜率之和为l”，直线l是否过定点？

（2）如果把该题中的“若直线P2A与直线P2B的斜率之和为-1”，改变为“若直线P2A与直线P2B的斜率之和为0”，直线l是否过定点？

（3）如果把该题中的“设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率之和为-l”，改变为“设直线l不经过P4点且与C相交于A，B两点，若直线P4A与直线P4B的斜率之和为-l”，直线l是否过定点？

（4）如果把该题中的“设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率之和为-l”，改变为“设直线，不经过P4点且与C相交于A，B两点，若直线P4A与直线P4B的斜率之和为l”，直线，是否过定点？

（5）如果把该题中的“设直线7不经过P2点且与C相交于A，B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率之和为一l”，改变为“设直线l不经过P4点且与C相交于A，B两点，若直线P4A与直线P4B的斜率之和为0”，直线l是否过定点？

数学教育家波利亚说过“在你找到第一个蘑菇时继续观察，就能发现一堆蘑菇”，由题目中斜率之和为-l我们猜想斜率和为0或l时结论是否也成立，进而猜想斜率之和为任意实数λ时是否可得出一致結论，然后再由椭圆上一个定点P2过渡到椭圆上另一点P4、任意一点P，再将上述猜想应用到椭圆的一般形式中，得到一系列变式，探究能否得出一般性结论，变式逐步深入，由易到难，体现着由特殊到一般的数学推理思想，试题的演变过程不仅符合学生逻辑思维的发展过程，也引导学生掌握处理此类问题的基本方法，大胆假设，小心求证，明澈思维，启迪心智.

5 试题启示

从近几年的高考全国卷来看，解析几何试题总是源于教材高于教材，又能给人似曾相识的感觉，因此，在日常教学中教师应立足于教材，精选典型的例题习题，进行变式、延伸、拓展，加强对数学问题的深入探究，波利亚说过：“一个有责任心的教师与其穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目，还不如适当选择某些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生解题的过程中，提高他们的才智与推理能力，”这种思想的实质就是变式教学思想，通过变式教学，有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探求“变”的规律，通过变式教学让学生对问题进行多角度、多层次的拓展和探究，使学生在解决数学问题时能够举一反三，会思考、会拓展，变式的方面包括问题的弱化强化、问题的正反面互换、问题的纵横向类比、问题的特殊和一般，总之，采用变式教学，引导学生对问题进行灵活变换，可使学生触类旁通，提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，进而提高学生的数学核心素养.