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圆锥曲线专题(一)

2018-02-03马文政

数学学习与研究 2018年1期
关键词:双曲线斜率抛物线

马文政

第一类问题 与垂直有关的過定点问题(斜率之积)

1.椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),P(x0,y0)为椭圆上的任意一点,且PA⊥PB,A,B两点均在椭圆上,则直线AB恒过定点c2x0a2+b2,-c2y0a2+b2.

2.已知P(x0,y0)为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的任意一点,且PA⊥PB,A,B两点均在双曲线上.

(1)当a≠b时,则直线AB恒过定点c2x0a2-b2,-c2y0a2-b2.

(2)当a=b时,kAB=-y0x0.

3.y2=2px(p>0)上的任意不同三点A,B,M(x0,y0),若MA⊥MB,则AB直线恒过定点(2p+x0,-y0).

推广到一般情况:

椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的任意三点A,B,M(x0,y0),若kMA·kMB=1t.

(1)当a2-b2t≠0时,则AB直线恒过定点a2+b2ta2-b2tx0,-a2+b2ta2-b2ty0.

(2)当a2-b2t=0时,kAB=-y0x0.

(3)当t=-1时,AB恒过定点c2x0a2+b2,-c2y0a2+b2.

双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的任意三点A,B,M(x0,y0),若kMA·kMB=1t.

(1)当a2+b2t≠0时,则AB直线恒过定点a2-b2ta2+b2tx0,-a2-b2ta2+b2ty0.

(2)当a2+b2t≠0时,kAB=-y0x0(这里x0,y0讨论省去了).

其中t=-1时,当a≠b时,则直线AB恒过定点c2x0a2-b2,-c2y0a2-b2.

当a=b时,kAB=-y0x0.

抛物线y2=2px(p>0)上的任意三点A,B,M(x0,y0),若kMA·kMB=1t,则AB直线恒过定点(-2pt+x0,-y0).

当t=-1时,则AB直线恒过定点(2p+x0,-y0).

第二类问题 斜率之和

椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),M(x0,y0)在椭圆上且

(1)kMB+kMA=1t,t≠0,则直线AB恒过定点-2ty0+x0,-2tb2a2x0-y0.

(2)当kMB+kMA=0时,kOM·kAB=b2a2.

练习:x22+y2=1上有一点M(0,1)若kMB+kMA=4则AB恒过-12,-1.

双曲线:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),M(x0,y0)在双曲线上且

(1)kMB+kMA=1t,t≠0,则直线AB恒过定点-2ty0+x0,2tb2a2x0-y0.

(2)当kMB+kMA=0时,kOM·kAB=-b2a2.

抛物线:y2=2px,P>0,

(1)kMB+kMA=0,则kAB=-Py0.

(2)当kMB+kMA=1t(t≠0)时,AB恒过定点(x0-2y0t,-y0+2Pt).endprint

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