多余观测数对方差分量估计结果的影响分析

2018-12-20何思源

铁道勘察 2018年6期

何思源

(中铁第一勘察设计院集团有限公司，陕西西安 710043)

理论上来说，利用各种方差分量估计算法推算观测值的方差都只能是近似的逼近，多余观测数越少，所得到的近似逼近效果就越差。当多余观测数过少时，就会出现方差或协方差为负的情况。因此，足够的多余观测是确保估值可靠性的前提。姚一斌[11]等总结出测量平差问题中不同观测条件、不同图形条件下必要观测值数量确定的通用公式，但是没有给出方差分量估计意义下多余观测数对精度的影响；汪晓庆[10]讨论了方差分量估计中必要多余观测数与精度指标的关系，指出当方差分量估值的中误差小于方差分量自身数值的1/2时精度较好，必要多余观测数考虑取20，并通过实验进行了验证，但是对参数小于2时未做研究；在方差分量估计的实际应用中，受各种环境条件的限制，采集到的数据量是有限的。同时，过多的多余观测会增加一定的工作量，影响工作效率。因此，制定评判多余观测数的标准十分重要。

既然多余观测数决定着方差分量估计结果的可靠性，那么多余观测数为多少时才适合采用方差分量估计，还没有明确的统一标准。首先引入多余观测数对方差分量估计结果影响的评定参数，通过实验，统计这一参数随着多余观测数的减少所呈现出的变化趋势，得出相应的结论。

1 方差分量估计中的精度评定

在所有的以最小二乘为估计准则的平差问题中，不论采用何种平差方法，单位权方差的估值公式均可以表示为

(1)

式中，VTPV为观测值残差向量关于权阵P的二次型。df为自由度，也就是多余观测数。根据广义传播定律，并顾及E(V)=0和式(1)，可得单位权中误差估值的方差为

(2)

这里略去式(2)右边求迹部分的推导过程，直接给出的方差

(3)

这说明，多余观测数越多，单位权方差的估值就越可靠。

对方差分量估值的精度，需要给出明确的评定标准。下面仅以Helmert型方差分量估计为研究对象，介绍其精度评定公式的推导过程。对于只含有两类相互独立观测值的间接平差，其Helmert方差分量估计的模型为

(4)

其中：

a=n1-2tr(N-1N1)+tr(N-1N1)2

b=tr(N-1N1N-1N2)

c=n2-2tr(N-1N2)+tr(N-1N2)2

(5)

(6)

设

(7)

(8)

2 评定参数

为了能够准确地描述多余观测数对方差分量估计结果的影响，定义评定参数为

(9)

式中

(10)

(11)

方差分量估计公式(4)中系数矩阵S的所有元素之和为

S11+S12+S21+S22=

n1-2tr(N-1N1)+tr(N-1N1)2+

2tr(N-1N1N-1N2)+n2-2tr(N-1N2)+tr(N-1N2)2=

n1+n2-2tr(N-1(N1+N2))+

tr(N-1N1N-1(N1+N2))+tr(N-1(N1+N2)N-1N2)=

n-2tr(N-1N)+tr(N-1N1)+tr(N-1N1)=

(12)

r为多余观测数，又因为

故评定参数与多余观测数有关。

3 实验实例

3.1 实验描述

模拟一个边角网的观测数据，分别对比在不同多余观测数下，方差分量计算结果的精度以及计算效率。

如图1所示，设计一个边角网，给定P1，P2，P3，P4纵横坐标的真值，如表1所示。由坐标真值反算出任意两点间的精确距离，以四个控制点中的任意点为测站点，反算出三个方位角的精确值，其值如表2所示。于是得到一个多余观测最多(共6个距离，12个方位角)的大地四边形控制网数据。

图1 模拟边角网[14]

点名坐标/mXYP1100100P2100200P3200195P419397

已知P1点的横纵坐标以及P2点的横坐标，P2点的纵坐标以及P3、P4点的横纵坐标待估。假设距离和方位角观测值的方差未知，数据的处理采用Matlab R2010b，模拟1000次观测数据，每次给距离和方位角的精确值加入期望为0、标准差分别为2″和10 mm的正态分布随机噪声。通过每一次模拟出的观测值，利用极坐标法求出P4、P3点的纵坐标和横坐标以及P2点横坐标的近似值，然后按间接平差的方法列出误差方程，进行平差计算(接下来用到的所有分析数据都由本实验提供)。

表2 模拟数据距离和方位角

3.2 实验结果分析

采用模拟边角网实验数据，每次给方位角和距离观测值分别加入期望值为0、标准差为2″和10 mm的正态分布随机噪声。该边角控制网中必要观测数为5。

图2～图6显示，多余观测数越少k越大，中误差估值精度越低。图2和图3分别为方向、距离k值与多余观测数之间1 000次试验的结果。从图2可以发现，多余观测数为5时(即必要多余观测数)方向k值较大，均值为1.314，且在1 000次实验中波动很大；当多余观测数为8时，k值明显减小，均值约为0.7，且在1 000次实验中较为稳定，该结果与多余观测数为9时十分接近；随着多余观测数增加，k趋于稳定，当多余观测数为13时，k值均值约为0.5。从图2、图3可以发现，距离k值呈现明显的聚类现象，即多余观测数为5、8为一类；多余观测数为9、10、11为一类；多余观测数为12、13为一类，对应的k值分别为0.75、0.64、0.58。当多余观测数为第一类时，k值波动较大；当多余观测数为第二类时，k值显著减小且趋于稳定；当多余观测数为第三类时，k值为0.58，且波动很小。

图2 方位角观测值的方差估值的评定参数的统计结果

图3 距离观测值的方差估值的评定参数的统计结果

图4 多余观测数为13时方差分量估值的统计结果

图5 多余观测数为9时方差分量估值的统计结果

图6 多余观测数为5时方差分量估值的统计结果

从图4～图8可得，当多余观测数为5时，估值精度较低，当多余观测数为9时，估值精度得到了显著提高，并且与多余观测数为13时的结果十分接近。

为了进一步分析多余观测数与k值的关系，通过计算得到k值均值以及k值相对减小的百分比，如图8及表3所示。由图8可知，多余观测数对方向k值影响较大，当多余观测数为5时，k均值为1.314，当多余观测数为8时，k均值为0.706，k均值相对减小了46.3%，当多余观测数大于10时，k值几乎不变；从图8来看，多余观测数对距离k值影响相对较小。从表3可以看到，多余观测数为9时比多余观测数为8减小了11.2%，多余观测数为12时比多余观测数为11减小了8.9%。

图7 多余观测数为13和9时中误差估值的散点图

图8 多余观测数为13和5时中误差估值的散点图

图9 K值均值与多余观测数关系

文献[10]指出，方差分量估值的中误差小于方差分量自身数值的1/2时，估值结果精度较好，此时多余观测数为20；考虑成本、效率等各种因素，这样的要求很难达到。图3显示，距离k具有明显的分类现象，当多余观测数为9时，方向k值为0.707、距离k值为0.644，并且其估值精度相对于5时得到了显著地提高；当多余观测数为13时，方向、距离k值为0.534，0.585，但是从图4、图5、图7来看，其精度提高不显著。通过函数拟合，得到k均值与多余观测数的函数关系，如图9所示。可以发现，当多余观测数为9时，函数在此处斜率最大，即k值显著减小，随着多余观测数增加，曲线趋平；通过图7、图8可以发现，多余观测数为9时中误差估值散点图与13时几乎一致，相对于多余观测数为5时精度得到显著提升；综合考虑精度、效率等因素，认为在本算例中多余观测数取9，即k取0.7为宜。