张云标

摘要：数列是高考与竞赛中的热点，而与数列前n项和有关的不等式的证明问题更是受到命题者的青睐，近年来在高考、各地高考模拟试题与竞赛试题中频频出现，且有些证明问题难度较大，思维能力要求较高，除了要利用证明不等式的一些基本方法（如比较法、综合法、分析法、数学归纳法等）外，往往还要对所证不等式进行放缩。众所周知，放缩要有一定的“度”，放得太大或缩得太小都会事与愿违，达不到证题目的。下面通过一些高考题、各地高考模拟题或竞赛题谈谈证明与数列前n项和有关的不等式问题的常用放缩策略。

关键词：放缩法；数列；不等式

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2018）34-0146-01

常用策略一：抓住通项，对通项进行放缩。

有些与数列前n项和有关的不等式，其前n项和不能求得，但通过对通项的适当放缩，其放缩后的和可求得，从而达到证题目的。

例1.已知数列{an} 的前n项和为Sn，且满足a1=12 ，an=-2Sn Sn-1（n≥2）。

⑴求证：{1Sn} 是等差数列；

⑵求an 的表达式；

⑶若bn=2（1-n）·an（n≥2） ，求证：b22+b23+…+b2n<1 。

（2004年南昌市高考模拟试题）

证明：这里主要对⑶进行证明。由⑵求得的an=-12n（n-1） （n≥2），得bn=1n （n≥2）。

∴b22+b23+…+b2n=（1-12）+（12-13）+…+（1n-1-1n）=1-1n<1，获证。

【评注】这里用到的放缩式是1n2<1（n-1）·n（n≥2），类似的放缩式还有

1n2<1（n-1）（n+1） （n≥2），1n2>1n（n+1）（n∈N+） ，1n！<1n（n-1） （n≥4）等。

常用策略二：放至最大项或缩至最小项。

对于有些存在最大项或最小项的数列（如单调数列、有界数列）的前n项和的不等式证明问题，有时可以将每一项（或部分项）放至最大项或缩至最小项，从而达到证题目的。

例2.数列{xn} 满足：x1=13，xn+1=x2n+xn（n∈N+） 。试证：

2<11+x1+11+x2+…+11+x2004<3

证明：∵xn+1-xn=x2n ，用赋值法可得xn+1-x1=x21+x22+…+x2n 。而xn+1-xn=x2n>0 ，

得数列{xn} 单调递增，∴xn+1-x1>nx21 ，即xn+1>n+39 。

又1xn+1=1xn（xn+1）=1xn-1xn+1 ，即1xn+1=1xn-1xn+1 。

∴∑ni=11xi+1=1x1-1xn+1=3-1xn+1<3

，且3-1xn+1>3-9n+3。取n=2004 得2<3-92007<3-1x2005= ∑2004i=111+xi<3，命题获证。

【评注】这里利用数列{xn} 单调递增，将x2，x3，…，xn 均缩至x1 ，从而达到证题目的。对于递增数列或递减数列，我们可以考虑将数列中的项缩至最小项或放至最大项；对于有界数列，我们可以考虑将数列中的项缩至下界或放至上界。

上面我们利用几种常用的放缩策略解决了一些高考模拟题、高考題及竞赛题中与数列的前n项和有关的不等式，从中可以领略到利用放缩法证明与数列的前n项和有关不等式的魅力，同时也感受到了实施放缩时选择策略的重要性。只有掌握了各种放缩策略的真正内涵，才能在证明与数列的前n项和有关的不等式时放缩自如，从而使问题得到有效解决。

参考文献：

[1] 戴怡萱.高中生解决不等式证明问题的调查研究[D].华东师范大学，2018.

[2] 成俊辅.高中数学中常见不等式的放缩方法[J].环渤海经济瞭望，2017（08）：150.