李白露

摘 要：检视当下学生数学思考力的培育，不难发现碎片化、标准化、线性化的问题现象。学生数学思考力必须在数学教学中落地、生根、发芽。基于数学“核心素养”视角，引导学生的数学思考从封闭、囚禁、固化走向动态、结构、本质，能够不断提升学生的数学思考水平。

关键词：核心素养；数学思考力；教学策略

作为一种深层次、全面性的思维活动，数学思考力是一种隐性学力。在商务印书馆第六版的《现代汉语词典》中，对于“思考”一词是这样阐释的：比较深刻、周到的思维活动。在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中，也将“数学思考”明确列为数学学科四大目标之一。因此，培育学生数学思考力既是数学课程标准的客观要求，也是发展学生数学“核心素养”的内在需求。数学教学应该而且必须萌发学生数学思考的种子，蓄积学生数学思考的潜质，引领学生学会数学思考。

一、数学思考力：问题的检视

数学是面向“思”的学科。著名数学教育家斯托利亚尔这样说，“数学教学说到底是数学思维的教学”。发展并提升学生的数学思考力，是数学教学的应然追求。但检视当下的数学教学，不能说忽视、缺失了数学思考，但在培育学生数学思考力过程中确实也存在不少的问题。考量这些问题，有助于归正数学教学的教学路向。

1. 碎片化思考：有部分却没整体。

数学思考应该既关照思考细节，更关照思考整体，应该倡导一种结构性、系统性的思维方式。在数学教学中，笔者发现，一些教师仍然用“对不对”“是不是”等简单、零碎的方式启迪学生，缺少来自学生内部的“是什么”“为什么”“怎么办”等高阶思维方式。比如，教学苏教版四年级下册的《加法交换律》，有教师喜欢用“朝三暮四”启发学生，导致学生对交换律的理解停留在字面意义上，即交换两个数的位置，和不变。如此，当学生遇到这样一些习题时总是这样计算：125-12+75=125-75+12。教师埋怨学生，其实学生很无辜。因为，教师没有从交换律的结构、整体上进行教学，学生对算式缺乏结构性认识，不理解交换律本质，即交换是“同级运算之间运算顺序的交换”。

2. 标准化思考：有答案却没创新。

数学思考应该既关注统一性、普适性、标准性的数学问题解决策略，更要呵护、关怀学生的个性化思考、另类性思维。当下，学生数学标准化思考有余而创新化思考不足，导致学生有答案而没创新。学生表面上的没问题，实质上潜藏着许多问题。在标准化思考的教学价值取向下，学生的许多灵性数学思考蜕变成公式堆积。比如，圆环面积公式、半圆周长公式、半圆面积公式，等等。一位教师教学《圆的面积》（苏教版小学数学五年级下册），由于学生缺少一个“转化”思想的感悟，同时由于教师过度强调了已知半径求面积，导致学生在知道了半径平方后，还“一意孤行”地想求出圆的半径。标准化的思考戕害了学生思维，让学生数学思考变得僵化。当数学思考沦落为“照这样”时，沦为枯燥推导与符号游戏时，“公式”就空有其“壳”，拖累了学生的思与行。

3. 线性化思考：有组织但没开放。

传统教学大都以“小步子、低坡度、分散难点”的方式展开教学。学生在教师设计好的问题链、任务链下进行学习，呈现出明显的线性特征。学生的数学思维由此被束缚在狭小的空间内，数学思考有组织但缺乏开放度、发散度。具体表现为：学生在解答一些熟悉的习题时往往能够驾轻就熟，而在遭遇未见的习题时常常显得一筹莫展。比如，教学《异分母分数相加减》（苏教版小学数学五年级下册），教师通常出示这样几组习题，即前几题是同分母分数相加减，然后出示一些异分母分数相加减习题，启迪学生运用“通分”方法解决问题。这样组织有序的线性教学，囚禁了学生思考路向，剥夺了学生开放性思考的机会。由此导致学生在进行异分母分数相加减计算时往往缺乏灵活性，不能根据题目中的数字特点进行计算。

碎片化、标准化、线性化的数学思考让学生“只见树木不见森林”，学生数学思维在教师割裂于整体知识的教学中狭隘、片面地生长。由此导致学生结构性、开放性、创新性思维的不足。学生数学思考缺乏应有的深度、广度，缺乏应有的灵活性、灵动性，缺乏应有的自主性、能动性。

二、数学思考力：路径的审视

所谓“数学思考力”，是指人们在问题情境中能够主动从数学视角去进行观察、分析，探寻其中存在的数学信息，并运用数学方法解决问题。数学思考力是一种逻辑运用、本质探寻、信息建立的能力。在小学数学教学中，教师必须追问数学知识的本质，厘清学生数学思考的方向，让学生的数学思考在数学学习中落地、生根、发芽。

1. 动态化，激活学生数学思考。

克莱茵说，“数学是一种精神，一种理性精神。”这种理性精神充分体现在能从“变”中把握“不变”，从“不变”中看出“变化”出来。因此，在数学教学中，教师要创设动静相宜的情境，激活学生的数学思考。

比如，江苏省著名特级教师、东台师范第一附属小学校长周卫东执教《三角形的三边关系》一课时，用动态变化的素材，引导学生不断打破既定的思考格局，引导学生进行动态化的数学思考。有两根小棒，一根小棒的长度为9厘米，另一根小棒的长度为7厘米，将其中一根小棒分成整厘米数的两段，让它们能夠围成三角形，一共有多少种不同的可能？学生展开数学化的操作活动后，发现将第二根小棒分成两段，无论怎样分都不能围成三角形；将第一根小棒分成两段后，都可以围成三角形。据此，学生展开数学化的思考：三角形的两条边之和小于第三条边时就不能围成三角形。于是，有学生将9厘米的小棒分为4厘米和5厘米，3厘米和6厘米，2厘米和7厘米，有学生还将9厘米分成了1厘米和8厘米。在这个基础上，周老师让学生展开讨论：当两根小棒的和等于第三根小棒时能否围成三角形？在学生通过小组交流形成共识后，周老师又将问题变为：如果考虑小棒的长度可以是小数，又有多少种可能？

问题的一次次变换，让学生的思维始终处于活跃状态。学生的数学思考不再固着，而是在周老师的问题变式中形成动态性的思考。他们不仅理解了三角形三边关系，更为重要的是经历一次科学的理性精神的深度体验，自然地受到了极限、对应、函数思想的浸润。

2. 结构化，生长学生的数学思考。

數学教学不仅要引导学生进行串式、链式思考，更要引导学生进行整体性、系统性、结构性的思考。所谓结构化思考，是指学生不仅能将数学知识串起来、连起来，更能将数学知识联起来、合起来。结构化思考能让学生领悟数学知识的内在之魂，获得一种整体性学习迁移力和感悟力。

比如，教学《长方体和正方体的表面积》（苏教版小学数学六年级上册），教参要求分两课时进行教学。其中，第一课时教学“长方体和正方体完全的表面积”，第二课时教学“长方体和正方体不完全的表面积”。显然，这样分开的教学是不利于学生形成结构化的思考能力的。为此，笔者在教学中将这两课时整合起来进行教学。一方面是长方体和正方体的表面积；另一方面是常见的长方体和正方体的材料用量。结构化教学让学生在遭遇不同类型习题（如金鱼缸、落水管、烟囱等）时能灵活进行问题解决。再如，苏教版六年级上册《分数乘法》《分数除法》与《分数四则混合运算》单元间是分开的，这样不利于学生形成分数应用题解决的结构化思路。为此，笔者在教学中对之进行整合，学生能够整体性、系统性地对分数乘除法应用题的解题思路展开结构化思考，形成结构化思路。

立足于结构，学生才能自由穿行在观察、感知、发现、归纳、演绎、构建等思维过程中。立足于结构，不仅仅是让数学知识从点状走向块状，实现结构化，更为重要的是让学生的数学思考从线性走向平面，从平面走向立体，从而让学生的数学思维实现结构化。

3. 本质化，深化学生的数学思考。

古希腊著名哲人柏拉图这样说：“我们应该区分两种不同的存在——经验的存在和理性的存在。经验的存在是有缺陷的，理性的存在才是完美的。”在小学数学教学中，培育学生的数学思考力，关键在于让学生超越生活化、经验化的现象认知，形成对知识的数学化、形式化、公理化的本质认识。本质化思考，能够让数学教学走向深刻和智慧。

以苏教版小学数学四年级下册的《三角形的稳定性》教学为例，生活经验中三角形的稳定性一般都是指“拉不动”。许多教师在教学中也将数学意义上的三角形的稳定性降格到生活经验的层面，这样的数学教学不断弱化着学生数学思考的理性与深刻性。笔者在教学中，从学生生活经验出发，让学生拉三角形，从中得到“三角形稳定性”的生活化理解。接着，笔者让学生拉焊接过的四边形框架，学生发现四边形同样具有“拉不动”特性。“难道四边形也具有稳定性吗？”学生思维开始从生活、经验层面步入数学理性层面。然后，笔者给学生提供了学具小棒，让学生摆三角形和四边形。经过交流，学生发现彼此摆的三角形形状、大小都是相同的，但四边形大小、形状各不相同。据此，学生从数学本质高度认识到三角形的稳定性：围成三角形的三根小棒的长度确定了，三角形的形状和大小也就确定了。本质化的操作、思考形成对数学知识的本质化认知。

在运用学具小棒对三角形和四边形进行操作的过程中，学生对“三角形的稳定性”的认识由浅入深，在不断去除对三角形稳定性的非数学化、非本质化认识后，形成对三角形大小、形状唯一性的理性认识。在教师的引导下，学生不断地发掘知识的数学本质，数学思考不断走向深入。

英国迪士尼乐园的路径是游客“走”出来的，学生数学思考力的形成也必定要“在游泳中学会游泳”。在数学教学中，教师要预留学生数学思考的时空，组织学生数学思考的活动，提供学生数学思考的技巧，延展学生数学思考的触角。不断提升学生数学思考的水平，让学生的数学思考走出狭隘、封闭、固化，走向本质、结构、开放。