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以不变应万变,立足课本基础

2018-12-07刘春生

文理导航·教育研究与实践 2018年9期
关键词:中心对称画板中点

刘春生

题目呈现:

已知二次函数y=ax+4ax+4a-1的图象是C1。

(1)写C1的顶点坐标,求C1关于点R(1,0)中心对称的图象C2的函数解析式。

(2) 设抛物线C1、C2与y轴的交点分别为A、B,当|AB|=18时,求a的值。

一、试题背景

此题对应的课标考查要求:(1)通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义;(2) 会用描点法画出二次函数的图像,通过图像了解二次函数的性质;(3)会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化成y=a(x-h)2+k的形式,并能由此得到二次函数图像的顶点坐标,说出图像的开口方向,画出图像的对称轴,并能解决简单实际问题;(4)会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解;(5)知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。

二、试题的立意

1.此题立足课标对二次函数的考查要求,主要是想考查学生对二次函数核心知识掌握情况.着重考查了二次函数的顶点及解析式的互相转化,所涉及的知识还有对称、两点间距离。

2. 在能力上考查了二次函数知识中所蕴含的转化思想、方程思想、数形结合思想,求学生体会数学知识之间的联系,运用数学的思维方式进行思考,增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。

三、解题策略

(一)学生可能遇到的困难有

1.在中心对称中如何求点的坐标;2.中点坐标公式在中心对称中的应用;3.两点间的距离公式;4.易错点是两点的距离公式学生不加上绝对值,从而不分类讨论导致漏解。

(二)题目分析

1.显性条件:是二次函数的一般式;隐含条件:将一般式化为顶点式。要特别关注学生写成顶点时应注意的问题(如:遗漏a等)。

2.求顶点式的解题方法

方法一:配方法。方法二:先找对称轴再代入一般式,从而求出顶点坐标C(-2,-1)。

(三)解决此题的重点

1.将点的对称转化为全等三角形或中点来求,应用转化思想。

2.图像关于点成中心对称后,开口方向有何变化。

(可利用几何画板做出动画让学生理解如图1)

(四)此题难点:图像变化过程中a的变化,顶点的变化。

(五)详细的解题策略过程。

(1)由显性条件①你能想到什么?(复习引出二次函数三种解析式)

②由①你能将它化成顶点式吗?有哪些方法?

(2)C1关于点R(1,0)中心对称,关键抓住什么?(二次函数关键抓住顶点)

(3)怎样求C2的顶点D呢?

思路1:C、R、D三点共线,且R為C、D的中点(图2),利用中点坐标公式,设D(x,y)。

思路2:分别过C、D两点作x轴的垂线(图3),垂足分别为M、N,则△CMR与△DNR有何关系?MR=NR,为第(2)问铺垫求两点间距离。

思路3:能否分别过C、D两点作y轴的垂线(图4)?

思路4:能否直接用CD=2CR而求出D的坐标?此时C2的开口方向与C1的有何关系?(结合几何画板演示给学生看,让其感悟)开口相反。

详解:(1)此时应用了转化思想,利用几何画板将抽象难懂演变得直观形象,还可以做出关于直线x=1对称,关于直线y=0对称等。

(2)与y轴的交点只需x为0,从而求出A、B两点坐标A(0,4a-1)、B(0,-16a+1),|AB|=|(4a-1)-(-16a+1)|。而此时学生易错:①没有添上括号;②没有绝对值符号,从而遗漏一个答案

四、试题的拓展与提升

(1)结论变式:

①降低难度,将R(1,0)变为原点(0,0);②同难度,将R(1,0)换成关于x=1对称;③同难度,将R(1,0)换成关于y=0对称。

(2)探索变式:

①已知C2解析式为:y=-a(x-4)2+1。试问C1与C2有何关系?

②试探究,当C1、C2有一个交点为R(1,0)时,此时的a的值是否存在?

五、反思与总结

(一)此题的好与改进的方面

此题很好地考查了二次函数的核心知识,很好地体现了学生数学能力以及勇于探究不怕困难的情感。但入手较难,没有较好地体现学生在数学上的不同体验,让部分已掌握一定二次函数基本知识的学生难以得到收获。从这个角度上来讲,如能增加一个轻易入手的问题就更好,比如:增加第一小问:若a=1,则顶点坐标是什么?

(二)二次函数的教学建议

函数是初中数学的重要内容之一,也是较难和抽象的知识,多数学生学起来觉得比较辛苦,难以掌握。特别是九年级的二次函数的综合问题,学生常常出现无从入手的感觉。而二次函数一直是我们江西中考的热点和难点,也是学生综合能力的体现。

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